Méthodes de calcul de la dérivée

Définition

Si f est une fonction définie sur un intervalle réel I non dégénéré et à valeurs réelles ou complexes, le nombre dérivé de f en un réel a ∈ I, noté f′(a), est la limite du taux d'accroissement f(x) − f(a)/x − a lorsque x tend vers a, si elle existe.

À un changement de variable près, elle se calcule aussi sous la forme f′(a) = limh→0 f(a + h) − f(a)/h.

Cette limite peut se calculer directement ou à l'aide d'un développement limité.

Fonctions de référence

FonctionExpressionDomaine de dérivabilitéExpression de la dérivée
Affinex ↦ ax + bRx ↦ a
Inverse x ↦ 1/x R* x ↦ −1/x2
Puissance d'exposant entier x ↦ xn avec n ∈ Z R si n ≥ 0,
R* sinon.		 x ↦ nxn−1
Racine carrée x ↦ √x R∗+ x ↦ 1/2√x
Exponentielle exp R exp
Logarithme naturel ln R∗+ x ↦ 1/x
Puissance d'exposant réel x ↦ xα avec α ∈ R R∗+ x ↦ αxα−1
Sinussin R cos
Cosinuscos R −sin
Tangentetan R ∖ {π/2 + kπ, k ∈ Z} 1 + tan2 = 1/cos2
Arc sinusArcsin ]−1 ; 1[ x ↦ 1/√1 − x2
Arc cosinusArccos ]−1 ; 1[ x ↦ −1/√1 − x2
Arc tangenteArctan R x ↦ 1/1 + x2

Combinaisons de fonctions

TypeFormule
Somme(u + v)′ = u′ + v′
Produit (u × v)′ = u′v + uv′
Produit par un scalaire (ku)′ = ku′
Inverse (1/v)′ = −v′/v2
Quotient (u/v)′ = u′v − uv′/v2
Composée (g ∘ u)′ = u′ × (g′ ∘ u)
Réciproque (f−1)′ = 1/f′ ∘ f−1
Composées usuelles
  • (uα)′ = α u′ uα−1
  • (√u)′ = u′/2√u
  • (eu)′ = u′ eu
  • (ln ∘ u)′ = u′/u

Prolongement par continuité

Soit f une fonction définie sur un intervalle réel non dégénéré I et à valeurs réelles ou complexes. Soit a ∈ I.

Si la fonction f est continue sur I et dérivable sur I∖{a} et si la dérivée de f admet une limite finie en a, alors la fonction f est dérivable en a avec f′(a) = limx→a f′(x).

Fonction intégrale dépendant de ses bornes

D'après le théorème fondamental de l'analyse et la dérivée d'une composée,
si I et J sont deux intervalles réels non dégénérés,
si a et b sont deux fonctions dérivables sur I à valeurs dans J,
si g est une fonction continue sur J à valeurs réelles ou complexes
et si pour tout x ∈ I on a F(x) = ∫a(x)b(x) g(t) dt
alors la fonction F est dérivable sur I et pour tout x ∈ I on a
F′(x) = b′(x) × g(b(x)) − a′(x) × g(a(x)).

Intégrale à paramètre

D'après le théorème de dérivation sous l'intégrale,
si I et J sont deux intervalles réels non dégénérés,
si f est une fonction de deux variables réelles définie sur un domaine de la forme I×J,
si pour tout x ∈ I, la fonction t ↦ f(x, t) est intégrable sur J,
si pour tout t ∈ J, la fonction x ↦ f(x, t) est dérivable sur I,
s'il existe une fonction réelle g définie et intégrable sur J telle que pour tout x ∈ I on ait |∂f(x, t) / ∂x| ≤ g(t),
alors la fonction F : x ↦ ∫J f(x, t) dt est dérivable sur I et pour tout x ∈ I on a F′(x) = ∫J ∂f(x, t) / ∂xdt.