Mémo suites et séries numériques

Soit (un)nN une suite réelle.

Suites de référence

Suite arithmétique
Si u est arithmétique de raison rR,
nN, un+1 = un + r ; un = u0 + nr
Suite géométrique
Si u est géométrique de raison qR,
nN, un+1 = un × q ; un = u0 × qn
Suite récurrente linéaire d’ordre 2
Soit (a, b) ∈ R2 tel que b ≠ 0 et nN, un+2 = aun+1 + bun. Si l’équation caractéristique x2 = ax + b a deux solutions (réelles ou complexes) distinctes λ et μ alors il existe deux constantes A et B tels que nN, un = Aλn + Bμn.
Si l’équation a une seule solution λ alors il existe deux réels A et B tels que nN, un = (An + B)λn.
Suite arithmético-géométrique
Soit (a, b) ∈ R2 tel que a ≠ 1 et nN, un+1 = aun + b. Si λ est l’unique solution de x = ax + b, la suite (unλ)nN est géométrique de raison a.
Fonction de récurrence homographique
Soit (a, b, c, d) ∈ R4 tel que adbc ≠ 0 et c ≠ 0 et nN, un+1 = aun + b/cun + d. Si l’équation caractéristique cx2 = (da)xb = 0 a deux solutions (réelles ou complexes) distinctes λ et μ alors la suite de terme général (unλ/unμ) est géométrique.
Si l’équation a une seule solution λ alors la suite (1/unλ) est arithmétique.

Variations de suite réelle

Critère de variations par différence
u croissante ⇔ ∀nN, un+1un ≥ 0
Critère de variations par quotient
Si u est strictement positive.
u croissante ⇔ ∀ nN, un+1/un ≥ 1
Suite récurrente
Soit f une fonction continue et croissante sur un intervalle stable I. Si u0I et nN, un+1 = f(un) alors u est monotone.
Suite implicite
Soit (fn) une suite de fonctions. Si nN, fn(un) = 0, le signe de fn+1(un) montre que le sens de variation de la suite u est opposé au sens de variation composé de celui des fonctions fn et celui des suites (fn(x)).




Limite

Soit u une suite réelle et LR. limn→+∞ un = L ⇔ ∀ ε > 0, ∃ NN : ∀ n > N, |unL| < ε  ; limn→+∞ un = +∞ ⇔ ∀ M > 0, ∃ NN : ∀ n > N, un > M ; limn→+∞ un = +∞ ⇔ ∀ M < 0, ∃ NN : ∀ n > N, un < M

Suite géométrique
q ∈ ]−1, 1[, limn→+∞ qn = 0
q ∈ ]1, +∞[, limn→+∞ qn = +∞
Suite de puissances
αR+∗, limn→+∞ nα = +∞
αR−∗, limn→+∞ nα = 0
Suite récurrente
Soit f une fonction continue sur un intervalle stable I. Si u0I et nN, un+1 = f(un), et si u converge vers LI alors f(L) = L.
Comparaison de croissance
a > 1, b > 0, c > 0, limn→+∞ an/n! = 0 ; limn→+∞ nb/an = 0 ; limn→+∞ (ln(n))c/nb = 0
Somme de Riemann
Soit f une fonction continue sur [0 ; 1].
limn→+∞ 1/n k=1n f(k/n) = 01 f(t) dt

Convergence des séries à termes positifs

Condition nécessaire de convergence
(∑un) converge ⇒ limn→+∞un = 0
Série téléscopique
(∑(un+1un)) converge ⇔ (un) converge
Séries géométriques et dérivées
x ∈ ]−1 ; 1[, k=0 xk = 1/1 − x ; k=1 kxk−1 = 1/(1 − x)2 ; k=2 k(k − 1) xk−2 = 2/(1 − x)3

Série exponentielle
xR, k=0 xk/k! = ex
Séries de Riemann
(1/nα) converge ⇔ α > 1
Théorème de majoration
nN, 0≤unvn et (∑vn) converge ⇒ (∑un) converge
Critère de D’Alembert
limn→+∞ un+1/un < 1 ⇒ (∑un) converge
Séries de Bertrand
(1/n (ln(n))β) converge ⇔ β > 1