Mémo des nombres

Nombres entiers

Caractérisation de l’ordre strict
∀ (a, b) ∈ N2, a > bab + 1
Multiple et diviseur
∀ (a, b) ∈ N2, bab divise a a multiple de b ⇔ ∃ kN : a = k × b
Division euclidienne
∀ (a, b) ∈ N × N, ∃! (q, r) ∈ N2 : a = b × q + r et r < b
Parité des entiers
aN, a pair ⇔ ∃ kN : a = 2k ; a impair ⇔ ∃ kN : a = 2k+1
Nombre premier
aN, a premier ⇔ a>1 et ∀ 1<k<a, ka
Critère de primalité
Soit a ≥ 2 entier non premier.
p premier : pa et p2a
Théorème fondamental de l’arithmétique
aN : a ≥ 2, ∃!p1<…<pn premiers, k1,…,knN : a = p1k1 × ⋯ × pnkn
Nombres triangulaires
nN, k=0n k = n (n + 1)/2)
Somme des carrés
nN, k=0n k2 = n(n+1)(2n+1)/6)
Somme des cubes
nN, k=0n k3 = (n(n+1)/2)2
Relation de récurrence de la factorielle
nN, (n + 1)! = n! × (n + 1)
Expression des coefficients binomiaux
nN, k ∈ ⟦0, n⟧, (k parmi n) = n!/k! (nk)!)
Formule de Pascal
nN, k ∈ ⟦1, n⟧, (k parmi n) = (k−1 parmi n−1) + (k parmi n−1)
Relation diagonale entre les coefficients binomiaux
nN, k ∈ ⟦1, n⟧, k(k parmi n) = n(k−1 parmi n−1)
Identité de Vandermonde
∀ (m, n, r) ∈ N3, k=0r (k parmi m) (rk parmi n) = (r parmi m+n)

Symboles somme et produit

Relations de Chasles
Soit (p, q, r) ∈ N3 tel que pq<r. Soit (xi) une familles de termes. i=pq xi + i=q+1r xi = i=pr xi ; i=pq xi × i=q+1r xi = i=pr xi
Réindexation
Soit (p, q, r) ∈ N3 tel que pq. Soit (xi) une familles de termes. i=pq xi = i=p+rq+r xir ; i=pq xi = i=p+rq+r xir

Nombres réels

Linéarité de la somme
Soit λR, (xi), (yi) familles dans R.
i (λxi + yi) = λi xi + i yi
Multiplicativité du produit
Soit nN et (xi), (yi) familles dans R.
i (xi × yi) = i xi × i yi ;
i (xi)n = (i xi)n
Somme d’une constante
aR, ∀ nN, k=1n a = n × a
Somme géométrique
xR ∖ {1}, ∀ nN, k=0n xk = 1 − xn+1/1 − x)
Produit d’une constante
aR, ∀ nN, k=1n a = an
Axiome d’Archimède
xR+, nN : xn
Inégalité de Bernoulli
x ∈ ]−1, +∞[, ∀ nN, (1 + x)n ≥ 1 + nx
Maximum et minimum
AR, mA, m = min(A) ⇔ ∀ xA, xm ; m = max(A) ⇔ ∀ xA, xm
Bornes supérieure et inférieure
Soit AR. Si A non vide majorée, sup(A) est le plus petit majorant de A.
Si A non vide minorée, inf(A) est le plus grand minorant de A
Valeur absolue
xR, |x| = {x si x ≥ 0 ;x si x < 0 ;
Racine carrée du carré
xR, (x2) = |x|
Inégalité triangulaire
∀ (a, b) ∈ R2, |a + b||a| + |b|
Inéquation avec valeur absolue
∀ (x, a) ∈ R2, |x|a ⇔ −axa ; |x|ax ≤ −a ou xa
Exponentiation
aR+∗, ∀ xR, ax = exp(x ln(a))
Formule du binôme de Newton
∀ (a, b) ∈ R2, nN, (a + b)n = k=0n (k parmi n) ak bnk
Formule de Bernoulli
∀ (a, b) ∈ R2, ∀ nN, anbn = (ab) × k=0n−1 ak bn−1−k
Série géométrique
x ∈ ]−1 ; 1[, k=0 xk = 1/1 − x)
Série exponentielle
xR, k=0 xk/k!) = ex
Séries géométriques dérivées
x ∈ ]−1 ; 1[, k=1 kxk−1 = 1/(1 − x)2) ; k=2 k(k − 1) xk−2 = 2/(1 − x)3)

Trigonométrie

0 −1 1 −1 1 I II III IV I I′ J J′ M α (0) (π/2) (π) (−π/2) cos(α) sin(α)
Valeurs remarquables des lignes trigonométriques
x 0 π/6 π/4 π/3 π/2
sin(x) 0 1/2 2/2 3/2 1
cos(x) 1 3/2 2/2 1/2 0
tan(x) 0 3/3 1 3
Relations trigonométriques
θR, cos2(θ) + sin2(θ) = 1 ; sin(−θ) = −sin(θ) ; cos(−θ) = cos(θ) ; tan(−θ) = −tan(θ) ; sin(π/2θ) = cos(θ) cos(π/2θ) = sin(θ)
Formule de De Moivre
θR, ∀ nN,
(cos(θ) + i sin(θ))n = cos(nθ) + i sin(nθ)
Arc tangente de l’inverse
xR+∗, arctan(x) + arctan(1/x) = π/2
Addition des angles
∀ (a, b) ∈ R2, cos(a+b) = cos a cos b − sin a sin b ; sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b ; tan(a + b) = tan(a) + tan(b)/1 − tan(a) tan(b))
Duplication de l’angle
aR, cos(2a) = cos2(a) − sin2(a) ; sin(2a) = 2 sin(a) cos(a)
Linéarisation
∀ (a, b) ∈ R2, cos(a) cos(b) = cos(a+b) + cos(ab)/2 ; sin(a) sin(b) = cos(ab) − cos(a+b)/2 ; sin(a) cos(b) = sin(a+b) + sin(ab)/2
Factorisation
∀ (p, q) ∈ R2, cos p + cos q = 2 cosp+q/2 cospq/2 ; cos p − cos q = −2 sinp+q/2 sinpq/2 ; sin p + sin q = 2 sinp+q/2 cospq/2
Tangente de l’arc moitié
x ∈ ]−π, π[, en posant t = tan(x/2), sin(x) = 2t/1 + t2) ; tan(x) = 2t/1 − t2) ; cos(x) = 1 − t2/1 + t2)

Nombres complexes

Premières puissances de i
i2 = −1 ; i3 = 1/i = −i ; i4 = 1
Parties réelle et imaginaire
∀ (a, b) ∈ R2, Re(a + ib) = a ; Im(a + ib) = b (sans i !)
Expression du conjugué
∀ (a, b) ∈ R2, ¯(a + ib) = a − ib
Solutions d’une équation du second degré à coefficients réels
Soit (a, b, c) ∈ R × R2. En notant Δ = b2 − 4ac, l’équation ax2 + bx + c = 0 a :
Expression du module
∀ (a, b) ∈ R2, |a + ib| = (a2 + b2)
Argument
∀ (r, θ) ∈ R+∗ × R, arg(r cos(θ) + i r sin(θ)) = θ (modulo )
Module et argument du produit et du quotient
∀ (z, z′) ∈ (C)2, |zz′| = |z| × |z′| ; arg(zz′) = arg(z) + arg(z′) ; |z/z′| = |z| / |z′| ; arg(z/z′) = arg(z) − arg(z′) ;
Expression de l’exponentielle complexe
θR, eiθ = cos(θ) + i sin(θ)
Notations exponentielles de référence
−1 = e ; i = eiπ/2 ; −i = e−iπ/2 ; 1 + i = (2) eiπ/4 
Formules d’Euler
θR, cos(θ) = eiθ + e−iθ/2) ; sin(θ) = eiθ − e−iθ/2i)
Formule de De Moivre
θR, ∀ nN, (eiθ)n = einθ
Racines de l’unité
nN, zC, zn = 1 ⇔ ∃ k ∈ ⟦0, n−1⟧ : z = e2ikπ/n ; k=0n−1 e2ikπ/n = 0 ; k=0n−1 e2ikπ/n = (−1)n−1

Ensembles de nombres

NZQRC