Exercices sur les variables aléatoires réelles discrètes

Problèmes
Annales

Calculer l'espérance et la variance pour la face apparente lors du lancer d'un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6. Calculer l'espérance et la variance de la somme des résultats apparents de 2 dés.
Un premier lancer de dé standard donne la valeur k. Exprimer en fonction de k la probabilité qu'un second lancer donne un résultat strictement supérieur.
Si on obtient un deuxième résultat strictement supérieur, on gagne la somme des deux résultats, sinon on ne gagne rien. Expliciter en fonction de k l'espérance du gain au deuxième lancer.
On lance k dés distincts mais tous équilibrés avec 6 faces numérotées de 1 à 6. Calculer la probabilité que toutes les faces donnent des valeurs différentes. On gagne la somme des valeurs des faces apparentes si elles sont toutes distinctes et on ne gagne rien sinon. Calculer l'espérance de ce jeu en fonction de k.
On lance k dés distincts mais tous équilibrés avec 6 faces numérotées de 1 à 6. Calculer la probabilité qu'aucun dé ne donne 6. On gagne la somme des valeurs des faces apparentes si aucune ne vaut 6 et on ne gagne rien sinon. Calculer l'espérance de ce jeu en fonction de k.
Dans une classe de 30 élèves, trois élèves n'ont pas fait leur exercice et l'enseignant récupère dix cahiers au hasard. Calculer la probabilité que tous les cahiers relevés contiennent l'exercice demandé, puis la loi du nombre de cahiers fautifs et son espérance.
Un couple décide d'avoir des enfants jusqu'à en avoir quatre ou jusqu'à avoir un fils. On suppose qu'à chaque naissance le sexe de l'enfant est équiprobable et indépendant des naissances antérieures. Déterminer la loi du nombre d'enfants, la probabilité d'avoir un garçon et l'espérance du nombre de filles.

Une grille de Loto est remplie en choisissant 5 numéros distincts parmi 49 et un numéro « chance » parmi 10.

Calculer le nombre de manières de remplir la grille et en déduire une valeur approchée de la probabilité de trouver tous les bons numéros (y compris le numéro chance).
Pour tout entier k entre 2 et 5, calculer le nombres de grilles obtenant k bons numéros (sans tenir compte du numéro chance) et en déduire des valeurs approchées des probabilités associées.
La répartition des gains est donnée par le tableau suivant (voir le règlement du jeu page 17).

Numéros trouvés Part des gains

5 + chance 19,53 %

5 sans chance 5,06 %

4 10,89 %

3 4,72 %

2 33,72 %

Sur les cinq millions d'euros répartis en moyenne (représentant 53 % des mises), calculer le gain moyen sur chaque tranche ainsi que le nombre de gagnants qui se partagent ce gain moyen.

Numéros trouvés	Part des gains
5 + chance	19,53 %
5 sans chance	5,06 %
4	10,89 %
3	4,72 %
2	33,72 %

On lance un dé standard à 6 faces jusqu'à obtenir un 6. On note X le nombre de lancers effectués. Expliciter l'ensemble des valeurs possibles pour X, puis sa loi de probabilité. En particulier, calculer P(X = 6).
Soit X une variable aléatoire suivant une loi géométrique sur N^∗ de paramètre p. Calculer la probabilité que X soit pair.
Une urne contient une boule blanche et une boule noire. On procède à l'expérience suivante : on tire une boule et si elle est blanche, on la remet dans l'urne avec une boule blanche supplémentaire et on recommence ; sinon on note X le nombre de tirages effectués.
Pour tout n ∈ N^∗, on note A_n l'évènement « on tire n boules blanches d'affilée depuis le début de l'expérience ». Calculer P_{A_n}(A_n+1) puis P(A_n) et P(X = n) pour tout n ∈ N^∗ Démontrer que lim_n→+∞ P(A_n) = 0 puis que X est une variable aléatoire réelle discrète.
Reprendre l'exercice précédent en rajoutant une boule noire au lieu de rajouter une boule blanche.
Calculer la loi de probabilité de la somme de deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi de même paramètre p.
Même question avec la différence.
On fixe un entier naturel m et on tire au hasard un entier X entre 0 et m inclus de façon équiprobable. Pour tout entier k entre 0 et m, calculer P(X ≤ k).
On considère maintenant une famille (X₁, …, X_n) de variables aléatoires indépendante et de même loi équiprobable sur ⟦0 ; m⟧. Pour tout entier k entre 0 et m, calculer P(∀i ∈ ⟦1 ; n⟧, X_i ≤ k). En déduire la loi de la variable aléatoire M = max(X₁, …, X_n).
Le nombre de clients dans une file d'attente suit une loi de Poisson de paramètre λ = 6. Chaque client a une chance sur deux d'être traité rapidement et une chance sur deux d'entrainer un retard indéterminé. Quelle est la probabilité qu'il n'y ait aucun retard indéterminé ?
Un lot de 500 pièces passe sur une machine pour la finition. Il s’avère que chaque pièce a une probabilité égale 0,015 d’être ratée.
On prélève 10 pièces dans le lot après passage dans la machine et on désigne par X le nombre de pièces pour laquelle l’opération a échoué. Quelle est la loi suivie par X ? Donner son espérance et sa variance.
Ecricome 2000 exercice 2
Soit Y une variable aléatoire réelle positive ne prenant qu'un nombre fini de valeurs. Démontrer la relation suivante : ∀ y ≥ 0, E(Y) ≥ y P(Y ≥ y).
On pourra écrire E(Y) = E(Y 1_{Y ≥ y}) + E(Y 1_{Y < y}), où 1_{Y ≥ y} est la variable aléatoire qui vaut 1 si Y ≥ y et 0 sinon, ainsi on a toujours 1_{Y ≥ y} + 1_{Y < y} = 1.

EN 2014 exercice 2 : théorème de Weierstrass (préliminaires)

Soit p ∈ [0 ; 1] et X₁, …, X_n des variables aléatoires de Bernoulli indépendantes et identiquement distribuées (iid) de loi B(p).

Donner la loi de S_n = ∑_i=1ⁿ X_i. Donner son espérance et sa variance.
On note X_n = S_n/n. Montrer l'inégalité Var(X_n) ≤ 1/4n.
Soit f une fonction de [0 ; 1] dans R. On pose pour tout t ∈ R, Q_n(t) = ∑_k=0ⁿ (k parmi n) f(k/n)t^k (1 − t)^n−k. Montrer les égalités E(f(X_n) = Q_n(p) et Q_n(p) − f(p) = ∑_k=0ⁿ (f(k/n) − f(p)) (k parmi n) t^k (1 − t)^n−k.

ENS 2014 exercice 2 partie 1

Sujets d'annales

Ecricome 2006 problème 2 : nombre de lancers à pile ou face avant la première apparition de deux piles consécutifs
Ecricome 2008 : entropie (page 306)
Ecricome 2012 : taux de panne
Ecricome 1999 second problème parties I et II
Ecricome 2007 problème 2 : fonction génératrice des lois binomiale et uniforme discrète, puis étude d'une population de bactéries.
Ecricome 2011 problème 2 : indice de concentration d'une variable discrète
ENS 2010 exercice III : proportion de fraudeurs au fisc
ENS 2011 exercice II : temps moyen de retour à l'équilibre dans un jeu de pile ou face.
ENSAE 2013 oral planche 33 exercice 1