Problèmes d’analyse

Problème : Paradoxe des marchands de glace

1. Rappeler la loi exponentielle et sa fonction de répartition.
2. Soit X une variable aléatoire uniforme sur X(Ω) = {−1, 1}, et Y une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre λ > 0. Déterminer la fonction de répartition du produit XY et montrer qu’il admet une fonction de densité.
3. Déterminer les variations et limites de la fonction f : x ↦ λ/2 e^−λ|x| sur R, puis tracer sa courbe représentative avec les asymptotes éventuelles.
4. Un marchand de glace s’installe sur une plage d’un kilomètre de long. La probabilité qu’un vacancier vienne lui acheter une glace suit une loi exponentielle en fonction de sa distance. En supposant que les vacanciers sont uniformément répartis sur la plage, le chiffre d’affaire du marchand est donc proportionnel à l’intégrale C(a) = ∫₀¹ f(x − a) dx où a ∈ [0, 1] correspond à sa position sur la plage.
   Montrer que C(a) = 1 − (e^−λa + e^−λ(1−a))/2.
5. Étudier les variations de la fonction C et en déduire la position optimale du glacier.
6. Un deuxième marchand s’installe sur la même plage, en une position b ∈ ]a, 1]. Les clients s’adressent alors systématiquement au glacier le plus proche, donc le chiffre d’affaires du deuxième marchand s’écrit G(b) = ∫_(a+b)/2¹ f(x − b) dx.
   Calculer le résultat de la fonction G puis montrer qu’elle est dérivable et que sa dérivée est du signe de h(b) = e^{−λ(b−a)/2} − 2.e^−λ(1−b).
7. À quelle condition sur λ et a la fonction h change-t-elle de signe sur l’intervalle ]a, 1] ? Quelles sont les variations de G (dans ce cas et dans le cas contraire) et quelle devrait être alors la position du deuxième marchand pour optimiser son chiffre d’affaires ?
8. On se place maintenant dans le cas où λ > 2 ln(2). Chaque matin, chaque marchand place son présentoir de façon à optimiser ses ventes par rapport au placement de l’autre marchand la veille. Les places successives de chaque marchand sont alors décrites par les relations de récurrence pour tout n ∈ N :
   a_n+1 = (b_n + 2 ln(2)/λ)/3 et b_n+1 = (a_n + 2 − 2 ln(2)/λ)/3.
   Montrer que les suites définies pour tout n ∈ N par s_n = a_n + b_n et d_n = b_n − a_n sont arithmético-géométriques et déterminer pour chacune son terme général.
9. En déduire le terme général de chacune des suites (a_n) et (b_n), puis montrer qu’elles convergent en déterminant leur limite.
10. Les deux marchands décident de s’associer et de mettre en commun leur chiffre d’affaire, qui s’écrit alors F(a, b) = 2 − e^{−λ(b−a)/2} − (e^−λa + e^−λ(1−b))/2.
    Calculer les dérivées partielles de F et en déduire ses éventuels points critiques. Montrer que ce point critique correspond à un maximum et préciser sa valeur.
11. Justifier que ce point critique correspond à un optimum de Pareto, c’est-à-dire qu’aucune amélioration du chiffre d’affaires pour l’un n’est possible sans dégrader celui de l’autre.
12. Cet optimum est-il atteint par l’optimisation individuelle ?

Problème

Soit x ∈ ]0 ; 1[.

1. Montrer que pour tout entier N ⩾ 2, ∑_k=1^N x^k/k = ∫₀^x dt/(1 − t) − ∫₀^x t^N/(1 − t)dt.
2. En déduire que la série de terme général x^k/k converge avec ∑_k=1^+∞ x^k/k = − ln(1 − x).

Problème : Équation diophantienne

On remarque que 2⁴ = 4² et on se demande s’il existe d’autres couples d’entiers (a, b) tels que a^b = b^a avec a < b.

1. Montrer que l’équation précédente se ramène à l’équation ln(a)/a) = ln(b)/b).
2. Étudier la fonction h : x ↦ ln(x)/x) et tracer sa courbe représentative avec ses éventuelles asymptotes.
3. La fonction h est-elle injective ?
4. Justifier que si (a, b) est un couple d’entiers tels que a^b = b^a avec a < b, alors a < e < b.
5. Quels sont les entiers a positifs mais strictement inférieurs à e ?
   Déterminer pour chacun d’eux les solutions à l’équation ln(a)/a) = ln(b)/b) avec b > e.
6. En déduire la liste de toutes les solutions de l’équation initiale.

Problème : Toboggan

A) Cas d’une fonction polynomiale de degré 3

Soit a, b, c, d quatre réels. On définit la fonction q : x ↦ ax³ + bx² + cx + d.

1. Calculer les valeurs de la fonction q et de sa dérivée, en 0 et en 1.
2. Déterminer les valeurs de a, b, c, d pour satisfaire simultanément les conditions q(0) = 1, q(1) = 0, q′(0) = 0 et q′(1) = 0.
3. Montrer que la dérivée q′ admet dans ce cas un minimum sur l’intervalle [0 ; 1] en un réel α à préciser.
4. Exprimer l’équation de la tangente à la courbe de q au point d’abscisse α.

B) Minimum de la dérivée

Plus généralement, on modélise un toboggan par une fonction f dérivable sur l’intervalle [0 ; 1] et dont la dérivée est continue, avec les contraintes f(0) = 1 et f(1) = f′(0) = f′(1) = 0.

1. Justifier que la dérivée f′ admet un minimum sur [0 ; 1].
2. Montrer qu’il existe c ∈ ]0 ; 1[ tel que f′(c) = −1.
3. En déduire que min_{[0 ; 1]}f′ ⩽ −1.

C) Borne supérieure du minimum de la dérivée

On définit une famille de toboggans dont le maximum de la dérivée est arbitrairement proche de 1.

1. À quelle condition sur les réels m et p la droite d’équation y = mx + p passe-t-elle par le point de coordonnées (1/2 ; 1/2) ?
2. Soit n ∈ N^∗ et a ∈ R^+∗. À quelles conditions sur a, m, p la fonction définie par f(x) = 1 − ax² si 0 ⩽ x ⩽ 1/n, f(x) = mx + p si 1/n ⩽ x ⩽ 1 − 1/n, f(x) = a(1 − x)² si 1 − 1/n ⩽ x ⩽ 1 est-elle continue et dérivable sur [0 ; 1].
3. Montrer que lorsque n tend vers +∞, le coefficient directeur m tend vers −1.

Problème : Approximation de pi

ENS 2015 exercice 1

On définit f(x) = (1)/(1 +x²) pour tout réel x. On prendra 8 cm par unité pour les représentations graphiques.

1. Dresser le tableau de variations de la fonction f en précisant les valeurs de la fonction en −1, 0 et 1, ainsi que les limites à l'infini et les éventuelles asymptotes.
2. Déterminer des équations pour les tangentes à la courbe de f en 0 et en 1.
3. Déterminer la position relative de la courbe de f par rapport à ces tangentes.
4. Montrer que la courbe de f admet un point d'inflexion d'abscisse positive, c'est-à-dire que la dérivée de f change de sens de variation en un réel α > 0 que l'on précisera.
5. Tracer la courbe représentative de la fonction f avec les tangentes calculées plus haut et le point d'inflexion.
6. Calculer l'aire 𝒜 du domaine du plan situé sous la courbe de f et au-dessus de l'axe des abscisses, entre l'axe des ordonnées et la droite d'équation x = 1. Colorer ce domaine sur la figure.
7. Démontrer que pour tout x ∈ R on a 1 − x² ≤ (1)/(1 + x²) ≤ 1 − x² + x⁴.
8. En déduire un encadrement de 𝒜 puis de π.

Problème : Intégrale dépendant de ses bornes

HEC 2005 exercice 2

1. Montrer que pour tout t ∈ R^+∗ on a t > ln(t).
2. En déduire que la fonction f : x ↦ ∫_x^2x (dt)/(t − ln(t)) est bien définie et dérivable sur R^+∗.
3. Calculer la dérivée de f.
4. Étudier les variations de f.
5. Pour tout x > 0, calculer ∫_x^2x (dt)/(t).
6. Montrer que lim_t→+∞ t^3/2((1)/(t−ln(t)) − (1)/(t)) = 0 .
7. En déduire qu’il existe A > 0 tel que pour tout x ≥ A on a (1)/(t−ln(t)) − (1)/(t) ≤ (1)/(t^3/2).
8. En déduire que lim_x→+∞ ∫_x^2x((1)/(t−ln(t)) − (1)/(t)) dt= 0 .
9. Montrer que f admet une limite en +∞ et que cette limite vaut ln(2).
10. Montrer que f est prolongeable en une fonction continue sur R⁺. Ce prolongement est-il dérivable à droite en 0 ?
11. Donner l’allure de la représentation graphique de f.

Problème : Fonction d’erreur

ENSAI 2005 problème 1

On pose pour tout x ∈ R, F(x) = ∫₀^x e^−t2/2 dt.

1. Justifier que la fonction F est bien définie.
2. Montrer que la fonction F est impaire et strictement croissante.
3. Pour tout entier n > 0 on pose I_n = ∫₁ⁿ e^−t2/2 dt. Justifier que la suite (I_n) est strictement croissante.
4. Montrer que la fonction f : u ↦ u e^−u est dérivable sur R⁺ et calculer sa dérivée. En déduire que pour tout u ≥ 0 on a f(u) ≤ (1)/(u).
5. Pour tout entier n > 0 on pose J_n = ∫₁ⁿ (dt)/(t²). Montrer que I_n ≤ (2)/(e)J_n.
6. Calculer J_n pour tout entier n > 0. En déduire que la suite (I_n) est majorée et démontrer qu’elle converge vers une limite finie I.
7. On définit la fonction g : x ↦ (1)/(x) e^−x2/2. Montrer que la fonction g est dérivable sur son domaine de définition et calculer sa dérivée. En déduire la relation g(x) − g(b) = ∫_x^b e^−t2/2 (1 + (1)/(t²)) dt pour tout b > x > 0.
8. Soient m et n deux entiers naturels tels que 0 > n > m. Démontrer l’inégalité I_m + g(m) > I_n + g(n).
9. On définit la fonction h : x ↦ ((1)/(x) − (2)/(x³)) e^−x2/2 sur R^+∗. Montrer que h est dérivable et calculer sa dérivée.
10. En déduire la formule h(x) − h(b) = ∫_x^b e^−t2/2 (1 − (1)/(t²) − (1)/(t⁴)) dt pour tout b > x > 0.
11. Démontrer l’inégalité I_m + h(m) > I_n + h(n).

Problème : Fonction logit

On définit pour tout p ∈ ]0 ; 1[, logit(p) = ln((p)/(1−p)).

1. Justifier que la fonction logit est bien définie et dérivable sur ]0 ; 1[ et préciser une expression de sa dérivée.
2. Déterminer les variations de la fonction logit et ses limites éventuelles en 0 et en 1.
3. Déterminer les éventuels points d’annulation de la fonction et une expression de la tangente en chacun de ces points.
4. Représenter la courbe de la fonction après avoir tracé ses éventuelles asymptotes et les tangentes calculées à la question précédente.
5. Montrer que la fonction logit est bijective sur son image et déterminer une expression de la réciproque.
6. La fonction logit est utilisée pour comparer des évolutions de proportion. Pour une proportion passant de la valeur p₁ à la valeur p₂, l’évolution est mesurée par la différence logit(p₂) − logit(p₁).
   Calculer la proportion des femmes pour chaque corps professionnel dans chaque tableau. On pourra arrondir les proportions en les donnant sous forme de pourcentage.
   En déduire l’évolution de la proportion de femmes entre les corps de Maitre de conférences et Professeur, dans les disciplines universitaires scientifiques d’abord, puis dans les disciplines universitaires littéraires.
   Le plafond de verre est-il comparable dans ces deux cas ?
   Nombre d’enseignants-chercheurs titulaires et stagiaires par corps et par sexe

   Dans les sections scientifiques

   	Hommes	Femmes	Total
   Maitres de conférences	11358	5562	16920
   Professeurs des universités	6679	1308	7987

   Dans les sections littéraires

   	Hommes	Femmes	Total
   Maitres de conférences	4683	5870	10553
   Professeurs des universités	2871	1575	4446

Problème : Intégrale dépendant de ses bornes

On pose pour tout x ∈ R^+∗, f(x) = ∫_x^3x (e^−t)/(t) dt.

1. Justifier que la fonction f est bien définie et dérivable sur R^+∗ et préciser l’expression de sa dérivée.
2. En déduire les variations de la fonction f.
3. Soit x > 0. Déterminer le minimum et le maximum de la fonction t ↦ e^−t sur l’intervalle [x, 3x]. En déduire un encadrement de f(x).
4. Déterminer la limite de la fonction f en +∞.
5. Montrer de même que la fonction f est prolongeable par continuité en 0 et préciser sa valeur limite.
6. En exprimant f′(x) comme le taux d’accroissement d’une fonction g, montrer que la dérivée f′ admet une limite en 0 et préciser la valeur de cette limite.
7. Donner une équation de la tangente à la courbe de f en 0, puis tracer cette tangente et la courbe en précisant les éventuelles asymptotes.

Problème : Fonctions trigonométriques

On pose pour tout x ∈ ]−1 ; 1[, a(x) = ∫₀^x (dt)/(√(1 − t²)).

1. Montrer que la fonction a est bien définie et strictement croissante en précisant sa dérivée.
2. Montrer que pour tout t ∈ [0 ; 1[ on a (1)/(1 − t²) ≤ (1)/(1 − t) et en déduire une majoration de la fonction a.
3. Montrer que la fonction a admet une limite finie ℓ en 1.
4. On pose π = 2ℓ. Montrer que la fonction a peut être prolongée en une bijection continue ^~a : [−1 ; 1] → [−π/2 ; π/2].
5. On pose sin(x) = ^~a⁻¹(x) pour tout x ∈ [−π/2, π/2]. Montrer que la fonction sin est dérivable sur [−π/2, π/2].
6. On note cos = sin′. Montrer que pour tout x ∈ [−π/2, π/2] on a sin²(x) + cos²(x) = 1. Représenter aussi le tableau des variatons de sin et cos sur cet intervalle.
7. On prolonge la fonction sin en posant pour tout x ∈ ]π/2, 3π/2[, sin(x) = sin(π − x), puis on la prolonge sur R par 2π-périodicité. Montrer que la fonction est ainsi deux fois dérivable avec cos′ = −sin.
8. Soit f une fonction deux fois dérivable sur R telle que f″ = −f. Montrer que la somme f² + (f′)² est aussi constante.
9. Soit y ∈ R. Montrer que la fonction x ↦ sin(x + y) − sin(x) cos(y) − cos(x) sin(y) est deux fois dérivable et calculer sa dérivée seconde. Calculer aussi la valeur de cette fonction et de sa dérivée en 0.
10. Montrer que pour tout (x, y) ∈ R² on a sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) et cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y).
11. En déduire que pour tout x ∈ R on a sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) et cos(2x) = 2 cos²(x) − 1.
12. Calculer cos(π/4) et sin(π/4).
13. Montrer que pour tout x ∈ R on a cos(3x) = 4 cos³(x) − 3 cos(x). En déduire que cos(π/3) est racine du polynôme P : t ↦ 4t³ − 3t + 1.
14. Montrer que P admet 1 comme racine. En déduire une factorisation de P et préciser la valeur de cos(π/3) et sin(π/3), puis cos(π/6) et sin(π/6).

Problème : Constante d’Euler

D’après ENS 2018 problème A première partie

On pose pour tout n ∈ N^∗, u_n = ∑_k=1ⁿ (1)/(k) − ln(n).

1. Montrer que pour tout entier k ≥ 1, (1)/(k+1) ≤ ∫_k^k+1 (dt)/(t) ≤ (1)/(k).
2. En déduire que la suite u est positive, décroissante et majorée par 1.
3. Justifier que u converge. On notera γ sa limite.
4. Montrer que la suite (u_n − (1)/(n))_n∈N^∗ est croissante.
5. Montrer que (1)/(2) < u₂ < 1 et en déduire 0 < γ < 1.

Problème : Décroissance lente

ENS 2018 problème C deuxième partie

Soit a ∈ R^+∗ et h ∈ 𝒞⁰([2, +∞[, R) telle que lim_x→+∞ h(x) = 0. On pose pour tout x ≥ 2, f(x) = a exp(∫₂^x (h(u))/(u) du) .

1. Montrer que la fonction f est strictement positive et dérivable avec pour tout x ≥ 2, h(x) = (xf′(x))/(f(x)).
2. À l’aide de la question précédente, déterminer un réel b > 0 et une fonction continue k tels que pour tout x ∈ R^+∗, ln(x) = b exp(∫₂^x (k(u))/(u) du) .
3. Montrer que pour tout ε > 0 fixé, il existe une constante C > 0 telle que pour tout x ≥ 2, f(x) ≤ Cx^ε. On pourra fixer M > 0 tel que |h(u)| ≤ ε pour tout x ≥ M, et couper l’intégrale en deux.
4. Montrer que pour tout c > 0, lim_x+∞ ∫_x^cx (h(u))/(u) du = 0.
5. En déduire que pour tout c > 0, on a lim_x+∞ (f(cx))/(f(x)) = 1.

Problème : Suite récurrente définie à l’aide d’une série géométrique

ENS 2017 problème A deuxième partie

Soit r ∈ ]0, 1[. On pose pour tout s ∈ [0, 1], f(s) = ∑_k=0^+∞ (1 − r)r^k s^k.

1. Donner une expression de f(s) pour tout s ∈ [0, 1].
2. Déterminer un polynôme P tel que pour tout x ∈ R, 1 − 4x + 4x² = P(x)².
3. Déterminer tous les points fixes de f.
4. Soit u₀ ∈ [0, 1]. Montrer que la suite définie pour tout n ∈ N par u_n+1 = f(u_n) converge et préciser sa limite.

Problème : Série géométrique alternée

ENS 2015 Exercice 1

1. Pour quelles valeurs de r ∈ R la série de terme général ((−1)ⁿr²ⁿ)_n≥0 est-elle convergente ? Lorsque la série converge, donner une formule simple pour S₂(r) = ∑_n≥0 (−1)ⁿr²ⁿ.
2. En déduire que pour tout x ∈ [0 ; 1] on a 1 − x² ≤ (1)/(1 + x²) ≤ 1 − x² + x⁴.
   Ces deux inégalités sont-elles valables pour tout x ∈ R ?
3. Soit j ∈ N^∗. Montrer que pour tout x ∈ [0 ; 1] on a ∑_k=0^2j−1 (−1)^k x^2k ≤ 1/(1 + x²) ≤ ∑_k=0^2j (−1)^k x^2k.
4. Justifier que l'étendue de cet encadrement tend vers 0 lorsque j tend vers +∞.
5. Par intégration sur l'intervalle [0 ; 1], en déduire un encadrement de π.
6. Quelle valeur de j peut-on prendre pour obtenir ainsi un encadrement de π à 10⁻² près ?

Problème : Fonction rationnelle

Un estimateur sans biais de la valeur maximale pour une variable aléatoire discrète à valeurs équiprobables dans [[0 ; m]] peut se calculer à partir du maximum sur un échantillon de trois valeurs grâce à la fonction f : x ↦ x⁴ − (x − 1)⁴/x³ − (x − 1)³.

1. Montrer que la fonction f est bien définie et dérivable sur R, puis simplifier son expression en développant numérateur et dénominateur.
2. Montrer que la dérivée de f est du même signe que la fonction g : x ↦ 12x⁴ − 24x³ + 18x² − 6x + 1.
3. Montrer que la fonction g admet une dérivée strictement croissante sur R et qui s'annule en 1/2. On pourra pour cela calculer la dérivée secondeg″.
4. En déduire le signe de la fonction g puis les variations de f.
5. Montrer que la fonction f ne s'annule qu'en 1/2.
6. Déterminer les limites de f à l'infini, puis montrer que le quotient (f(x))/(x) admet une limite finie a lorsque x tend vers l’infini.
7. Montrer que la courbe représentative de la fonction f admet une même droite asymptote d’équation y = (4x − 2)/(3) en +∞ et en −∞
8. Déterminer le signe de la différence f(x) − (4x − 2)/(3) pour tout x ∈ R et en déduire la position relative de la courbe de f et de son asymptote.
9. Représenter graphiquement l'asymptote et la courbe de f.

Problème : Plus court segment tangent

On cherche le plus court segment tangent à la courbe de la fonction f : x ↦ √(1 + x²) et qui relie cette courbe à l’axe des abscisses.

1. Déterminer le domaine de définition et la parité de f.
2. Justifier que f est dérivable et calculer sa dérivée.
3. Déterminer les variations et limites de f.
4. Justifier que la différence f(x) − x admet une limite finie lorsque x tend vers +∞ et en déduire que f admet une asymptote oblique en +∞.
5. Représenter l’allure de la courbe et ses asymptotes en choisissant 4 cm comme unité graphique.
6. Soit a ∈ R. Calculer l’équation de la tangente T_a à la courbe de f au point d’abscisse a et montrer que cette tangente ne coupe l’axe des abscisse que si a ≠ 0.
7. Pour tout a ∈ R^∗+, montrer que le point d’intersection de T_a et de l’axe des abscisses a pour abscisse (−1)/(a).
8. Représenter la tangente à la courbe au point d’abscisse 2 sur le tracé de la question 5.
9. Calculer la longueur du segment tangent reliant la courbe au point d’abscisse a à l’axe des abscisse et montrer que minimiser cette longueur revient à minimiser la fonction g : a ↦ 2a² + 3 + (1)/(a²).
10. Étudier les variations de la fonction g sur R^+∗ et montrer qu’elle admet un minimum que l’on précisera.
11. En déduire la longueur du plus court segment recherché.

Problème : Étude d’une fraction avec radical

1. Déterminer le domaine de définition de la fonction d’une variable réelle définie par f : x ↦ (√(x² − x − 2) + 3x + 4)/(x + 2).
2. Calculer le taux d’accroissement de f au voisinage de −1 et de 2.
3. Justifier que f est dérivable sur son domaine de définition sauf en deux points à préciser.
4. Calculer la dérivée de f.
5. Montrer que la dérivée est du même signe que la fonction g : x ↦ 4√(x² − x − 2) + 5x + 2.
6. Déterminer le signe de la fonction g et ses limites aux bornes du domaine de définition de f.
7. En déduire les variations de f.
8. Calculer les limites de la fonction f au bornes de son domaine de définition.
9. Préciser les éventuelles asymptotes à la courbe.
10. Représenter graphiquement la courbe de f.

Problème : Encadrement de π

1. Rappeler la définition de la fonction tangente et ses valeurs en 0, π/6, π/4 et π/3.
2. Redémontrer que pour tout x ∈ R on a Arctan′(x) = 1/(1 + x²).
3. En déduire que pour tout x ∈ R⁺ on a x − x³/3 ≤ Arctan(x) ≤ x.
4. Utiliser les inégalités précédentes pour démontrer l'encadrement 2/3 ≤ π/4 ≤ 1 et en déduire un encadrement de π.
5. Donner de même un encadrement de π/6 et en déduire un nouvel encadrement de π.
   Ce nouvel encadrement permet-il de montrer l'inégalité π ≤ 3,2 ?

Problème : Inverse du cosinus hyperbolique

On considère la fonction f : t ↦ (2)/(e^t + e^−t).

1. Justifier que la fonction f est définie et deux fois dérivable sur R puis déterminer ses variations.
   Préciser ses éventuelles limites et sa valeur en 0.
2. Montrer que le signe de la dérivée seconde de f est déterminé par celui de e^2t + e^−2t − 6 pour tout t ∈ R.
3. Déterminer le signe de u + 1/u − 6 pour tout u ∈ R^+∗.
   En déduire que la dérivée seconde f″ ne s’annule qu’en α = (1)/(2) ln(3 + 2√(2)) sur R⁺.
4. Montrer que α = ln(1 + √(2)).
5. Exprimer l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse α.
6. Représenter la courbe de la fonction, la tangente calculée et les éventuelles asymptotes.
7. Pour tout x ∈ R, calculer l’intégrale F(x) = ∫₀^x f(t) dt à l’aide du changement de variable t = ln(v).
8. Montrer que la fonction F admet une limite finie L en +∞ que l’on précisera.
   En déduire le tableau de variations de F.
9. Montrer qu’il existe un unique réel β tel que F(β) = L/2 et calculer β.
10. Montrer que pour tout θ ∈ ]π/4, π/2[ on a tan(2θ) = (2 tan(θ))/(1 − tan²(θ)).
11. En déduire que tan(3π/8) est racine du polynôme X² − 2X − 1 et préciser sa valeur.

Problème : Convergence d’une suite récurrente

Ecricome 2006 problème 2 question 3

On considère la fonction f : x ↦ (x² + 1) / (2x − 1) définie sur l'intervalle ]1/2 ; +∞[ et on introduit la suite (b_n) définie par b₀ = 2 et pour tout n ∈ N, b_n+1 = f(b_n).

1. Étudier les variations de la fonction f et montrer qu'elle admet un minimum en un réel φ.
2. Montrer que la suite (b_n) est décroissante et minorée. Montrer qu'elle converge et préciser sa limite.
3. Prouver que pour tout n ∈ N, b_n+1 − φ ≤ 1/2 (b_n − φ)².
   En déduire que pour tout n ∈ N, 0 ≤ b_n − φ ≤ (1/2)^{∑_k=0n 2k}.
4. Vérifier que b₃ est une valeur approchée de φ à 10⁻⁴ près. Calculer cette valeur approchée sous la forme d'une fraction irréductible.

Problème : Suite convergente vers un point fixe

Ecricome 2012 problème 2.1

Étude d’une fonction

On considère la fonction définie sur l'intervalle ]−1/2 ; +∞[ par f(0) = 1 et pour tout x ≠ 0, f(x) = ln(1 + 2x)/x − 1.

1. Montrer que lim_X→0ln(1 + X)/X = 1 et en déduire que la fonction f est continue en 0.
2. Déterminer une fonction h définie sur ]−1/2 ; +∞[ telle que pour tout réel x non nul sur cet intervalle, f′(x) = h(x)/x².
3. Étudier les variations de h puis en déduire celles de f.
4. Montrer que la fonction f s'annule en un unique réel α. (On admettra α 1,26.)
5. Tracer l'allure de la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.

Étude d’une suite convergente

On pose ensuite g : x ↦ ln(1 + 2x). Soit (u_n) une suite vérifiant u₀ > 0 et pour tout n ∈ N, (u_n+1 = g(u_n).

1. Vérifier que la suite est strictement positive.
2. Si la suite converge, quelle est la seule valeur possible pour sa limite ? On notera ℓ cette valeur.
3. Supposons u₀ ≤ α.
   1. Montrer que pour tout n ∈ N on a u_n ≤ α.
   2. Montrer alors que la suite est monotone et convergente.
   3. Montrer que le résultat précédent est encore valable si u₀ > α.
4. Supposons u₀ = 1.
   1. En utilisant l'inégalité des accroissements finis, montrer que pour tout n ∈ N on a |u_n+1 − α| ≤ 2/3 |u_n − α|.
   2. En déduire que pour tout n ∈ N on a |u_n − α| ≤ (2/3)ⁿ.
   3. À partir de quel rang peut-on être sûr que u_n représente une valeur approchée de α à 10⁻⁴ près ?

Étude d’une primitive de f

On pose, pour tout x ∈ ]−1/2, +∞[ , F(x) = ∫₀^x f(t) dt.

1. Étudier les variations de F.
2. Montrer que F(x) ∼_x→0 x. En déduire l’équation de la tangente à la courbe représentative de F au point d’abscisse x = 0.
3. Donner un équivalent de f au voisinage de +∞. En déduire la limite de F(x) quand x tend vers +∞.
4. Donner un équivalent de f au voisinage de (−1)/(2). Én déduire l’existence de la limite de F(x) quand x tend vers (−1)/(2).
5. Le prolongement de F est-il dérivable à droite en (−1)/(2) ?
6. On donne le tableau de valeurs suivant :

   x	−0,5	−0,25	0,5	1	α	2	4	5
   F(x)	−1,14	−0,33	0,3	0,43	0,45	0,37	−0,31	−0,80

   Donner l’allure de la représentation graphique de F. On placera en particulier les tangentes à la courbe aux points d’abscisses x = 0 et x = (−1)/(2).

Problème

1. Déterminer les variations de la fonction f : x ↦ ln(1 + x) − 2x ln(2) sur son domaine de définition.
2. En déduire que la fonction f est positive sur l’intervalle [−1/2, 0].
3. Montrer que pour tout x ∈ [0, 1] on a 1 − x²/2 ⩽ cos(x) ⩽ 1.
4. En déduire la nature de la série (∑ ln(cos(1/n).

Problème : Suite d’intégrales

ENS 2006 exercice

Soit f une fonction continue et strictement positive sur [0 ; 1]. On pose pour tout n ∈ N, z_n = (∫₀¹ f(x)^1/n dx)ⁿ et pour tout y réel, φ(y) = e^y − y.

1. Dresser le tableau de variations de φ et montrer que la fonction φ est minorée par 1.
2. Montrer que pour tout réel y on a φ(y) ≤ φ(|y|).
3. Montrer qu’il existe un réel M ≥ 1 tel que pour tout réel x ∈ [0 ; 1] on ait (1/M) ≤ f(x) ≤ M.
4. En déduire une majoration de x ↦ |(ln(f(x)))/(n)|.
5. Montrer que pour tout réel x ∈ [0 ; 1], on a 1 + (ln(f(x)))/(n) ≤ f(x)^1/n ≤ (ln(f(x)))/(n) + exp((ln(M))/(n)) − (ln(M))/(n).
6. Expliciter le développement limité de la fonction φ à l’ordre 2 en 0.
7. Montrer que la suite (z_n) converge vers e^I où I = ∫₀¹ ln(f(x) dx.

Problème : Étude d’une fonction avec arc tangente

1. Redémontrer l’expression de la dérivée : arctan′(x) = 1/(1 + x²).
2. En déduire un développement limité à l’ordre 3 en 0 de la fonction arctan.
3. Montrer que pour tout x ∈ R^+∗ on a arctan(x) + arctan(1/x) = π/2.
4. Déterminer la parité, les variations et les limites de la fonction f : x ↦ x arctan(x) ainsi que la position relative de sa courbe par rapport à ses éventuelles asymptotes.
5. Calculer ∫₀¹ f(x) dx.

Problème : Trigonométrie hyperbolique

On définit les fonctions sh : x ↦ (e^x − e^−x)/2 et ch : x ↦ (e^x + e^−x)/2 sur R.

1. Déterminer les variations et limites de la fonction sh, et justifier qu’elle admet une réciproque dont on déterminera une expression.
2. Déterminer un développement limité à l’ordre 3 en 0 de sh et de sa réciproque.
3. Montrer que pour tout x ∈ R on a 1 + sh²(x) = ch²(x).
4. À l’aide d’un changement de variable t = sh(x), justifier l’égalité ∫₀¹ √(1 + t² dt = ∫₀^ln(1+√2) (e^x + e^−x)²/4 dx et calculer cette intégrale.

Problème : Intégrale du sinus cardinal

On s’intéresse à l’intégrale I = ∫₀^+∞ (sin(t))/(t) dt.

1. Montrer que la fonction f : t ↦ (sin(t))/(t) est prolongeable par continuité en 0 et préciser sa limite.
2. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que la fonction f est aussi intégrable en +∞.
3. Pour tout n ∈ N, justifier que l’intégrale I_n = ∫₀^π/2 (sin((2n + 1) x))/(x) dx converge.
4. À l’aide d’un changement de variable t = (2n + 1)x, montrer que la suite (I_n)_n∈N converge et préciser sa limite.
5. Pour tout n ∈ N, justifier que l’intégrale J_n = ∫₀^π/2 (sin((2n + 1) x))/(sin(x)) dx converge.
6. Montrer que pour tout n ∈ N, pour tout x ∈ ]0 ; π/2], (sin((2n + 1) x))/(sin(x)) = 1 + 2 ∑_k=1ⁿ cos(2kx).
7. En déduire que la suite (J_n) est constante et calculer sa valeur J₀.
8. Montrer que la fonction g : x ↦ (1)/(sin(x)) − (1)/(x) admet un développement limité à l’ordre 1 en 0.
9. En déduire que la fonction g est prolongeable en une fonction de classe 𝒞¹ sur [0 ; π/2].
10. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que la suite définie pour tout n ∈ N par K_n = ∫_π/(4n+2)^π/2 g(x) sin((2n + 1) x) dx converge vers 0.
11. Montrer que la suite définie pour tout n ∈ N par L_n = ∫₀^π/(4n+2) g(x) sin((2n + 1) x) dx converge aussi vers 0.
12. En déduire que la suite (J_n − I_n)_n∈N converge vers 0 et expliciter la valeur de l’intégrale I.