Exercices sur les fonctions de référence

Fonctions de référence
  1. Démontrer que toute fonction affine non constante admet une réciproque affine sur R.
    À quelle condition sur les coefficients une fonction affine est-elle égale à sa réciproque ?
  2. Montrer qu’une fonction affine est impaire si et seulement si elle est linéaire.
  3. Montrer que pour tout y ∈ ]0 ; 1[ on a les inégalités 1 ≤ 1/√1 − y ≤ 1 + y/2(1 − y)−3/2
    ENS 2013 exercice 2 question 4
  4. Étudier la fonction x ↦ ln(exp(x) − 1).
  5. Montrer que la fonction x ↦ e2x − 1 / e2x + 1 définit une bijection de R sur ]−1 ; 1[ et déterminer une expression de la fonction réciproque.
  6. Justifier que pour tout u ∈ R∗+, u ln(u) ≥ −1.
    Ecricome 2008 problème 2.1.2
  7. Soit r ≥ 1. Dresser le tableau de variations de la fonction fr : x ↦ exp(−rx)/√1 − x sur [0 ; 1[ en précisant ses éventuelles limites et représenter l'allure de sa courbe.
    ENS 2013 exercice 2 question 1
  8. Étudier les fonctions ch : x ↦ ex + e−x/2 et sh : x ↦ ex − e−x/2.
  9. Étudier la fonction x ↦ x1 / ln(x).
  10. Étudier la fonction φ : x ↦ −x − ln(1 −x)/x2.
    ENS 2003
  11. Montrer que pour tout x ∈ [0 ; π/2] on a 2x/π ≤ sin(x) ≤ x.
    On peut étudier les différences des expressions associées à chaque inégalité.
  12. Montrer que pour tout x ∈ R on a cos(x) ≥ 1 − x2/2.
    En déduire la limite de cos(x) − 1/x√x lorsque x tend vers 0.
  13. Montrer que pour tout x ∈ [0 ; π/2[ on a tan(x) ≥ x.
  14. Montrer que pour tout x ∈ [−1 ; 1] on a Arcsin(x) + Arccos(x) = π/2.
    On peut dériver le membre de gauche par rapport à x.
  15. Montrer que pour tout x ∈ R∗+ on a Arctan(x) + Arctan(1/x) = π/2.
    Cette égalité est-elle vraie sur R∗− ?
  16. Montrer que pour tout x ∈ [−1 ; 1] on a cos(Arcsin(x)) = √1 − x2 = sin(Arccos(x)) et que pour tout x ∈ ]−1 ; 1[ on a tan(Arcsin(x)) = x/√1 − x2.
    Utiliser la relation cos2 + sin2 = 1.
  17. Montrer que pour tout x ∈ R on a cos(Arctan(x)) = 1/√1 + x2 et sin(Arctan(x)) = x/√1 + x2.
    Utiliser la relation 1 + tan2 = 1/cos2.

Problèmes

On considère la fonction f : x ↦ ln(1 + x)/x définie sur ]−1 ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[.
  1. Montrer que la fonction f est dérivable et que sa dérivée est du signe de la fonction g : x ↦ x/1 + x − ln(1 + x).
  2. Étudier les variations et le signe de g et en déduire les variations de f
On considère la fonction f : x ↦ π cos(πx)/sin(πx).
  1. Montrer que la fonction f est définie et continue sur R\Z, impaire et périodique de période 1.
  2. Montrer que pour tout x ∈ R\Z on a g(x/2) + g(x + 1/2) = 2 g(x).
ENS 2010 exercice IA
Soit p ∈ ]0 ; 1[. On pose q = 1 − p et pour tout x réel, φp(x) = ln(peqx + qe−px).
  1. Justifier que φp est dérivable sur R et calculer φp(0) ainsi que φp′(0).
  2. Montrer que la dérivée seconde de φp peut s’écrire pour tout x réel φp″(x) = Ap(x) Bp(x) / (Ap(x) + Bp(x))2.
  3. Montrer que la dérivée seconde de φp(x) est majorée par 1/4 sur R.
  4. En déduire que φp(x) ≤ x2/8 pour tout x réel.
ENS 2004
Soit λ ∈ R∗+.
  1. Montrer que la fonction définie sur R+ par x ↦ 1 − e−λx est bijective et préciser sa fonction réciproque, que l'on notera g.
  2. En posant Q : x ↦ 1 − (1 + λx) e−λx, calculer la composée h = Q g.
  3. Calculer la dérivée de h et en déduire les variations de h.
  4. Montrer que h est convexe.
Ecricome 2011 Indice de concentration d'une variable exponentielle question 2
Soit (p, q) ∈ ]0 ; 1[2. On définit la fonction h : t ↦ tp − ln((1 − q) + q exp(t)) sur R.
  1. Justifier que la fonction h est bien définie et deux fois dérivable sur R, puis calculer sa dérivée et sa dérivée seconde.
  2. Montrer que h admet un unique maximum sur R et déterminer la valeur t∗ en lequel ce minimum est atteint.
  3. Montrer que ce minimum vaut h(t∗) = p ln(p/q + (1 − p) ln(1 − p/1 − q).
ENS 2011 exercice I
On considère la fonction f : x ↦ cos(πt) e−πt de [0 ; 1] dans R.
  1. Donner le tableau de variation de la fonction f et représenter son graphe.
  2. Déterminer une constante numérique M ∈ R telle que pour tout (t, u) ∈ [0 ; 1]2 on ait l'inégalité |f(t) − f(u)| ≤ M |t − u|.
ENS 2014 exercice 2 : théorème de Weierstrass (préliminaires)

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