Exercices fonctions de plusieurs variables

Problèmes

Problème
ENS 2011 exercice I
Pour tout (x, y) ∈ ]0 ; 1[2 on pose d(x, y) = x ln((x)/(y)) + (1 − x) ln((1 − x)/(1 − y)).
  1. Soit x ∈ ]0 ; 1[. Tracer l'allure de la courbe de la fonction f : yd(x, y), en précisant les éventuelles tangentes et asymptotes remarquables.
  2. Soit y ∈ ]0 ; 1[. Tracer l'allure de la courbe de la fonction g : xd(x, y), en précisant les éventuelles tangentes et asymptotes remarquables.
  3. Montrer que la fonction d est toujours positive.
  4. Pour quelles valeurs de (p, q) ∈ ]0 ; 1[2 a-t-on d(p, q) = 0 ?
  5. Montrer que pour tout (p, q)2 ∈ ]0 ; 1[2 on a d(p, q) ≥ 2(pq)2.
Problème
ENS 2016 planche 8 exercice 2
Pour toute fonction g : RkR, on appelle maximiseur de g tout point x0Rk tel que g(x0) ≥ supxRk g(x).
On considère la fonction définie par F(m, s) = (1)/(s) exp((m2+(m−2)2)/(2s)).
  1. Donner le domaine de définition D de F dans R2.
  2. Montrer qu’un point maximise F si et seulement s’il maximise aussi ln(F).
  3. Déterminer les dérivées partielles de F.
  4. Montrer que, quelle que soit la valeur de sR+∗, m0 = 1 est l’unique maximiseur de la fonction mF(m, s)
  5. Montrer que la fonction sF(m0, s) admet un unique maximiseur que l’on calculera.
  6. Montrer que pour tout (m, s) ≠ (m0, s0) dans D, on a F(m, s) < F(m0, s0).