Exercices sur la dimension finie

Dimension finie
  1. Soit k ∈ N∗ et X ∈ Rk. Montrer que l'application φ : A ↦ AX définit une application linéaire de ℳk(R) dans Rk et calculer son rang.
    ENS 2011 problème questions 8 et 9
  2. Pour tout entier naturel k ≤ 4 on pose pk = ∑j=0k Xj.

    Montrer que la famille (pk) forme une base de l'espace des polynômes de degré inférieur ou égal à 4.

    (Ecricome 2000 exercice 1 question 2.a)

Problèmes

Soit u un endomorphisme sur un espace vectoriel E de dimension finie. On souhaite caractériser les endomorphismes dont le noyau et l'image sont des espaces supplémentaires, c'est-à-dire tels que E = Im u ⊕ Ker u.
  1. Montrer les inclusions suivantes : Ker u2 ⊂ Ker u et Im u2 ⊂ Im u.
  2. Montrer que si E = Im u ⊕ Ker u alors Im u = Im u2.
  3. Réciproquement, montrer que l'égalité Im u = Im u2 implique alors E = Im u ⊕ Ker u.
  4. Montrer qu'il existe n0 tel que pour tout k ≥ n0, Ker uk = Ker un0 et Im uk = Im un0. On note alors K = Ker un0 et I = Im un0.
  5. Préciser K et I lorsque u est inversible.
ENS 2007 problème partie 2

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