Décomposition d’un espace vectoriel

Somme de sous-espaces vectoriels

Exercice
D’après Ecricome 2000 exercice 1 question 1
Soit n ∈ N. Montrer que l’espace E = Rn[x] des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à n est la somme directe des ensembles F = {P ∈ E : P(x) = P(−x)} (polynômes pairs) et G = {P ∈ E : P(−x) = −P(x)} (polynômes impairs).
Exercice
Montrer que l'ensemble des matrices symétriques et l'ensemble des matrices antisymétriques forment deux sous-espaces supplémentaires dans ℳn(R).
Exercice
ENS 2015 exercice 2
On pose D2(R) = {x·I2, x ∈ R}. Montrer que D2(R) forme un sous-espace vectoriel de ℳ2(R) et que ℳ2(R) = Ker(Tr2) ⊕ D2(R).
Exercice
HEC 2016 exercice 2 question 4
Soit f ∈ L(R4) dont la matrice représentative dans la base canonique est A = (: (0 ; −1 ; 0 ; 0) (0 ; 0 ; 0 ; 0) (1 ; 0 ; 0 ; −1) (0 ; 1 ; 0 ; 0) ).
  1. Vérifier que Im(f) ∩ Ker(f) ≠ {0}.
  2. Calculer A2 et A3. En déduire le plus petit entier p tel que Ker(fp) ⊕ Im(fp) = R4.
Exercice
HEC 2016 exercice 2 question 6
Soit f ∈ L(R6) dont la matrice représentative dans la base canonique est P = (: (1 ; 0 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0) (0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0) (1 ; 0 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0) (0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 1) (0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1) ).
  1. Montrer que le plus petit entier p tel que Ker(fp) = Ker(fp+1) est p = 3.
  2. Vérifier que Im(f3) ⊕ Ker(f3) = R6.
Exercice
ESSEC 2011 problème 2 question 18
On note J ∈ ℳn(R) la matrice dont tous les coefficients valent 1. Montrer que ℳn,1(R) = Ker(J) ⊕ Im(J).
Exercice
Soit u un endomorphisme de Rn tel que u2 = −u. Montrer que Ker(u) et Im(u) sont supplémentaires.
En déduire une matrice représentative de u dans une base adaptée à ces sous-espaces.
Exercice
D’après ENS 2014 exercice 1 question 7
Soit F ∈ ℳp,n(R) et G ∈ ℳn,p(R) deux matrices telles que GF soit inversible.
Montrer que Im(F) et Ker(G) sont supplémentaires dans Rn.
Exercice
ENS 2017 planche 6 exercice 2
Soit u un endomorphisme de Rn tel que (u − 2Id)2 ∘ (u + 3Id) = 0. Montrer que Ker((u − 2Id)2) et Ker(u + 3Id) sont supplémentaires.
Exercice
ENS 2018 planche 15 exercice 2
Soit u un endomorphisme de Rn. On suppose qu'il existe un entier k ≥ 1 tel que uk soit l'endomorphisme nul.
Soit S un sous-espace vectoriel de Rn tel que pour tout x ∈ S, on ait u(x) ∈ S et S + Im(u) = Rn. Montrer que S = Rn.
Exercice
ENS 2018 planche 11 exercice 2
Soit M ∈ ℳn(R) une matrice de rang 1 telle que Tr(M) ≠ 0. Montrer que Ker(M) et Ker(M − Tr(M)In) sont supplémentaires dans Rn.
Exercice
D’après ESSEC 2014 problème 1 partie I
Soit A ∈ ℳn(R) et (λ, μ) ∈ R2 tel que (A − λI)(A − μI) = 0. Montrer que Ker(A − λI) ⊕ Ker(A − μI) = Rn.
Exercice
ENS 2009 exercice I partie C
Soient P et Q deux polynômes non nuls tels que la division euclidienne de P par Q s’écrive P(x) = S(x)Q(x) + r avec un reste constant non nul.
Montrer que Ker(PQ(A)) = Ker(P(A)) ⊕ Ker(Q(A)).
Exercice
HEC 2016 exercice 2 question 3
Soit f un endomorphisme sur un espace vectoriel E. On suppose qu’il existe (a1, … , am) ∈ Rm tel que a1f + a2f2 + ⋯ + amfm = 0. Montrer que Ker(f) ⊕ Im(f) = E.

Projecteurs et symétries

Exercice
Soit u un projecteur.
  1. Montrer que û = id − u est un projecteur.
  2. Montrer que Ker(û) = Im(u) et Im(û) = Ker(u).
Exercice
ENS 2018 problème B troisième partie
Soient p et q deux projecteurs dans Rn tels que Im(p) ⊕ Im(q) = Rn = Ker(p) ⊕ Ker(q). Montrer que p − q est un isomorphisme.
Exercice
ENS 2018 problème B question 10
Soient p et q deux projecteurs dans Rn tels que p − q soit un isomorphisme.
Montrer que id − p ∘ q est un isomorphisme.
Exercice
ENS 2018 problème B cinquième partie
Soient p et q deux projecteurs dans Rn tels que id − p ∘ q et p + q − p ∘ q soient des isomorphismes.
  1. Justifier qu’il existe z ∈ L(Rn) tel que id = z ∘ p + z ∘ (id − p) ∘ q.
  2. En déduire que Ker(p) ∩ Ker(q) = {0}.
  3. Montrer que Im(p) + Im(q) = Rn.
  4. Montrer que Im(p) ⊕ Im(q) = Rn et Ker(p) ⊕ Ker(q) = Rn.
Exercice
ENS 2017 planche 2 exercice 1
Soient p et q deux projecteurs sur Rn. Soit x ∈ Rn tel que p(x) = q(x).
  1. Calculer (Id − p ∘ q) ∘ p(x).
  2. Calculer (p + q) ∘ (Id − p)(x).
  3. On suppose que p + q et Id − p ∘ q sont inversibles. Montrer que p − q est inversible.
Exercice
ENS 2017 planche 4 exercice 1
Soient n et p deux entiers strictement positifs. Soient f ∈ L(Rn, Rp) et g ∈ L(Rp, Rn) deux applications linéaires telles que g ∘ f soit un projecteur de rang p.
  1. Montrer que rg(g) ≤ p.
  2. En déduire que Im(g ∘ f) = Im(g) et que Ker(g) = {0}.
  3. Montrer que g(f(g(x))) = g(x) pour tout x ∈ Rp.
  4. Montrer que f(g(x))) = x pour tout x ∈ Rp.
Exercice
Parmi les applications suivantes, déterminer lesquelles définissent une symétrie sur ℳ2(R). Préciser alors les sous-espaces associés.
Exercice
Soit s et s′ deux symétries sur un espace vectoriel E. Montrer qu’elles commutent si et seulement si s ∘ s′ est aussi une symétrie.

Problèmes

Problème
ENS 2017 planche 15 exercice 1
Soient A et B deux matrices de ℳn(R) telles que AB = BA = 0 avec rg(A2) = rg(A).
  1. Montrer que Ker(A) = Ker(A2).
  2. Montrer que Ker(A) ⊕ Im(A) = Rn.
  3. Montrer que dim(Ker(A) + Ker(B) = n.
  4. Montrer que Ker(A + B) = Ker(A) ∩ Ker(B).
  5. Montrer que rg(A + B) = rg(A) + rg(B).
Problème
HEC 2017 exercice 2 partie 1
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et E1 et E2 deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans E. Pour tout vecteur x ∈ E, on notera x = x1 + x2 l’unique décomposition telle que xi ∈ Ei.

Soit f un endomorphisme de E1 et h un isomorphisme de E1 sur E2.

On définit G l’endomorphisme de E qui à tout vecteur x = x1 + x2 associe G(x) = h−1(x2) + h(x1) + f(x1).

  1. Montrer que G est injectif.
  2. Justifier que G est surjectif et donner une expression de l’isomorphisme réciproque.
Problème
HEC 2016 exercice 2 question 5
Soit f un endomorphisme non nul sur un espace vectoriel E de dimension finie.
  1. Montrer pour tout entier naturel k l’inclusion Ker(fk) ⊂ Ker(fk+1).
  2. Comparer les dimensions respectives de Ker(fk) et Ker(fk+1).
  3. À l’aide d’une démonstration par l’absurde, montrer qu’il existe un entier naturel m tel que dim(Ker(fm)) = dim(Ker(fm+1)).
  4. On note p0 le plus petit entier natuerl tel que dim(Ker(fp0)) = dim(Ker(fp0+1)). Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel k on a dim(Ker(fp0)) = dim(Ker(fp0+k)).
  5. Montrer que Im(fp0) ∩ Ker(fp0) = {0}.