Exercices de calcul sur les réels

Calcul élémentaire

Multiplication d'entiers

Calculer les produits suivants :

• 23 × 91
• 3007 × 64
• 999 × 17
• 37 × 66
• 30 × 170
• 256 × 3125

Division euclidienne

Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de :

• 321 par 7
• 123 par 13
• 1000 par 11
• 998 par 999
• 3000 par 12.

Développement

Développer les expressions suivantes avec des variables réelles :

• (x + 3)(2x − 5)
• (7 − 3x)(9 − 4x)
• (2 − x)(4 + 3x)²
• (x + 2)³
• (x² − 3)(x² + 3)

• (a + b + c)²
• (a + b − c)²
• (a − b − c)²
• (a + b − c)(b + c − a)(c + a − b)

Factorisation

Factoriser autant que possible les expressions polynomiales suivantes avec x ∈ R :

• (x + 3)(2x − 5) − 2(x + 3)
• (2x − 6)(9 + 4x) + (3 − x)
• (x² − 4) + (2 + x)(x − 4)
• (x − 6)² + (4x − 9)(4 + 9x)
• (2x + 7)² − (5 − 2x)²
• x⁴ + 16
• x⁴ − 16

Opérations sur les fractions

Calculer le résultat de chacune des opérations suivantes sous forme d'une fraction irréductible.

• 11/8 − 13/7
• 2 × 3/5 − 3 × 5/2
• (1/2 + 3/4) / (5/6 − 7/8)
• 1 − 2/(3 − 4/(5 − 6/7))
• (1 − (2/3)³) / (1 − 2/3)

Tableau de signe

Dresser le tableau de signe des expressions suivantes en précisant leur domaine de définition dans R.

• (1 + 3x)(5x + 2)
• (2 + x)(2x − 3)
• (2 + 7x)²(9 − 4x)
• (9 − 4x²)/((2 + 3x)(2x − 3))

Opérations sur les puissances

Simplifier les expressions suivantes comme produits ou quotients de puissances de nombres premiers.

• 12⁷ × 15³
• (8⁷)⁶
• 300/144
• (25 × 10⁴)/(4 × 10⁶)

Factorielle et coefficients binomiaux

Pour tout n ∈ N*, calculer ∑_k=0ⁿ (k × k!),

Résolution

Résoudre les équations et inéquations suivantes avec une inconnue réelle en précisant à chaque fois l'ensemble d'étude et l'ensemble solution.

Inéquations simples

• 2x + 3 ≤ 5x − 1
• (3 − x)(7x + 2) < 6
• 3/(1 − x²) > 7
• (5 − 2x)/(4 + 3x) ≥ (4 + 3x)/(5 − 2x)

Équations du second degré

• 3x² − 5x + 2 = 0
• 6x² − x − 1 = 0
• x = 1/(2 + x)
• √(2x + 3) = 4 − x
• x − 2 = √(3x² + 4x + 1)
• √(x + 1) + √(x − 1) = 3

Inéquations avec des valeurs absolues

• |x² − 4x − 1| ≤ 4
• (4x + 9)/(1 − |2x − 3|) > x − 2

Démonstration de formules

Démontrer les formules suivantes.

• ∑_k=0ⁿk² = n(n + 1)(2n + 1)/6 pour tout n ∈ N
• ∑_k=0ⁿk³ = (n(n + 1)/2)² pour tout n ∈ N
• ∑_k=1ⁿ 1/(k(k + 1)) = n/(n + 1) pour tout n ∈ N*
• ∏_k=2ⁿ(1 − 1/k) = 1/n pour tout n ∈ N tel que n ≥ 2
• ∑_k=−nⁿ 1/(x + k) = 1/x + ∑_k=1ⁿ 2x/(x² − k²) pour tout (x, n) ∈ (R \ Z) × N (annales de l'ENS).
• Exprimer sans symbole somme le réel ∑_i=0ⁿ⁻¹ ∑_k=1ⁿ⁻ⁱ aⁱ b^k où a et b sont deux réels différents de 1 (ENS 2006 Problème).

Approximation

Donner des valeurs approchées des valeurs numériques suivantes avec deux chiffres significatifs en notation scientifique.

• 987654321 × 123456789
• 3,14159 × 2,71828
• 3,14159/2,71828
• √600
• √6
• √7.