Limite et continuité

Droite réelle continuée et voisinage

On appelle droite réelle continuée et on note R l'ensemble qui contient tous les réels et deux infinis R = R ∪ {−∞ ; +∞}, ordonné totalement par l'ordre usuel sur les réels avec pour tout x ∈ R, −∞ ≤ x ≤ +∞.

L'addition est partiellement prolongée par :

∀ x ∈ R, (−∞) + x = x + (−∞) = −∞ et (+∞) + x = x + (+∞) = +∞
(+∞) + (+∞) = +∞ et (−∞) + (−∞) = −∞

Seule l'addition de +∞ et −∞ n'est pas définie.

La multiplication est partiellement prolongée par la règle suivante : le produit de deux infinis ou d'un réel non nul avec un infini est infini et son signe suit la règle des signes. Seule la multiplication de zéro et d'un infini n'est pas définie.

Soit a ∈ R. On dit qu'une propriété est vraie au voisinage de a s'il existe un intervalle ouvert contenant a sur lequel la propriété est vraie.
On dit qu'une propriété est vraie au voisinage à droite (resp. à gauche) de a s'il existe ε ∈ R^∗+ tel que la propriété soit vraie sur ]a ; a + ε[ (resp. ]a − ε ; a[).
On dit qu'une propriété est vraie au voisinage de +∞ (resp. −∞) s'il existe M ∈ R₊ tel que la propriété soit vraie sur ]M ; +∞[ (resp. ]−∞ ; M[).

Limite

Soit a ∈ R et soit f une fonction définie au voisinage à gauche ou à droite de a. On dit que f admet une limite L ∈ R en a et on note lim_x→a f(x) = L si pour tout intervalle ouvert J contenant L, on a f(x) ∈ J pour tout x au voisinage de a.
On dit que f tend vers +∞ (resp. −∞) en a et on note lim_x→a f(x) = +∞ (resp. lim_x→a f(x) = −∞) si pour tout M ∈ R, on a f(x) ∈ ]M ; +∞[ (resp. f(x) ∈ ]−∞ ; M[) pour tout x au voisinage de a.

Les mêmes définitions peuvent être spécifiées à droite ou à gauche en appliquant la même précision aux voisinages considérés.

Soient f et g deux fonctions réelles définies sur un même voisinage à gauche ou à droite de a ∈ R et admettant des limites en a, notées respectivement L et L′.

Si on a L > L′ alors on a f > g au voisinage de a.
Si on a f ≤ g au voisinage de a alors on a L ≤ L′.

Comme pour les limites de suites, on démontre le premier cas et le deuxième s'en déduit par contraposée.

Supposons L > L′. On pose ε = (L−L′)/2. Alors on a f(x) > L − ε = (L+L′)/2 = L′ + ε > g(x) au voisinage de a.

Cette propriété démontre l'unicité de la limite.

Critère séquentiel de la limite: Soit a ∈ R et soit f une fonction définie au voisinage à gauche ou à droite de a. Soit L ∈ R. On a l'équivalence suivante : lim_x→a f(x) = L si et seulement si
pour toute suite (u_n) telle que lim_n→+∞ u_n = a on a lim_n→+∞ f(u_n) = L.

On montre le sens direct puis la contraposée de la réciproque.

Supposons lim_x→a f(x) = L. Soit (u_n) telle que lim_n→+∞ u_n = a.
Soit J un intervalle ouvert au voisinage de L. Il existe un intervalle I au voisinage de a tel que pour tout x ∈ I ∩ D_f on ait f(x) ∈ J. Or il existe un rang à partir duquel tous les termes de la suite (u_n) sont dans I. À partir de ce même rang, tous les termes de la suite (f(u_n)) sont donc dans J.
Donc on trouve lim_n→+∞ f(u_n) = L.

Réciproquement, supposons que la fonction f ne tende par vers L en a. On distingue trois cas.

Si a ∈ R, pour tout n ∈ N* l'intervalle ouvert ]a − 1/n, a + 1/n[ contient un réel u_n ∈ D_f tel que f(u_n) ∉ J.
Si a = +∞, pour tout n ∈ N* l'intervalle ouvert ]n, +∞[ contient un réel u_n ∈ D_f tel que f(u_n) ∉ J.
Si a = −∞, pour tout n ∈ N* l'intervalle ouvert ]−∞, −n[ contient un réel u_n ∈ D_f tel que f(u_n) ∉ J.

Dans les trois cas, la suite f(u_n) ne tend pas vers L en +∞.

Le critère séquentiel permet de démontrer des théorèmes analogues aux théorèmes sur les limites de suites.

Théorème de comparaison

Soient f et g deux fonctions réelles définies sur un même voisinage à gauche ou à droite de a ∈ R telles que f ≤ g au voisinage de a.

Si lim_x→a f(x) = +∞ alors lim_x→a g(x) = +∞.
Si lim_x→a g(x) = −∞ alors lim_x→a f(x) = −∞.

Théorème d'encadrement ou théorème des gendarmes

Soient f, g, h trois fonctions réelles définies sur un même voisinage à gauche ou à droite de a ∈ R telles que lim_x→a f(x) = lim_x→a h(x) et telles que f ≤ g ≤ h au voisinage de a. Alors la fonction g tend vers la même limite que f et h en a.

Théorème des limites d'une fonction monotone

Soit (a, b) ∈ R² tel que a < b. Soit f une fonction définie et croissante sur ]a, b[.
Si f est minorée alors lim_x→a f(x) = inf_{]a, b[} f, sinon lim_x→a f(x) = −∞.
Si f est majorée alors lim_x→b f(x) = sup_{]a, b[} f, sinon lim_x→b f(x) = +∞.

Limites à gauche et à droite pour une fonction monotone

Soit f une fonction définie et croissante sur un intervalle réel I. Pour tout (a, b) ∈ I² tel que a < b on a f(a) ≤ lim_{x→a, x > a} f(x) ≤ lim_{x→b, x < b} f(x) ≤ f(b).

De même, on peut démontrer des règles de calcul à partir de celles sur les limites de suites.

Dans toutes les propositions ci-dessous, on considère f et g deux fonctions réelles définies sur un même voisinage à gauche ou à droite de a ∈ R.

Limite d'une somme

Si f et g admettent toutes deux une limite finie en a alors f+g aussi et on trouve lim_x→a (f + g)(x) = lim_x→a f(x) + lim_n→a g(x).
Si lim_x→a f(x) = +∞ et si g est minorée au voisinage de a alors lim_x→a (f + g)(x) = +∞.
Si lim_x→a f(x) = −∞ et si g est majorée au voisinage de a alors lim_x→a (f + g)(x) = −∞.

Limite d'un produit

Si lim_x→a f(x) = 0 et si g est bornée au voisinage de a alors lim_x→a (f × g)(x) = 0.
Si f et g admettent toutes deux une limite en a alors on a lim_x→a (f × g)(x) = (lim_x→a f(x)) × (lim_x→a g(x)) lorsque le produit a un sens.

Limite du quotient

Si f et g admettent toutes deux une limite en a alors on a lim_x→a f(x)/g(x) = lim_x→a f(x)/lim_x→a g(x) lorsque ce quotient a un sens.
Si f tend vers l'infini en a et si g est bornée de signe constant au voisinage de a alors f/g tend vers l'infini en a en respectant la règle des signes.
Si f est bornée et si g tend vers l'infini alors on a lim_x→a f(x)/g(x) = 0.

Il ne faut pas confondre la propriété suivante avec celle de la limite d'une suite géométrique.

Limite d'une puissance

Soit n ∈ N*. On a lim_x→+∞ xⁿ = +∞ et

si n est pair, lim_x→−∞ xⁿ = +∞ ;
si n est impair, lim_x→−∞ xⁿ = −∞.

On procède par récurrence sur n ∈ N*.

Limite de la racine carrée: On a lim_x→+∞ √x = +∞

Pour tout M ∈ R⁺ on a l'équivalence √x > M ⇔ x > M².

Limite d'une composée: Soit f une fonction définie au voisinage à gauche ou à droite de a ∈ R et à valeurs dans un intervalle J. Soit g une fonction définie sur J.
Supposons lim_x→a f(x) = L et lim_X→L g(X) = L′. Alors on a lim_x→a g(f(x)) = L′.

On applique deux fois le critère séquentiel de la limite. Pour toute suite (u_n) qui tend vers a, on a lim_n→+∞ f(u_n) = L donc lim_n→+∞ g(f(u_n)) = L′. Finalement, en utilisant la réciproque du critère séquentiel, on trouve bien lim_x→a g(f(x)) = L′.

Asymptote

Soit a ∈ R et f une fonction définie au voisinage à droite ou à gauche en a. On dit que la courbe représentative de f admet une asymptote verticale d'équation x = a si f admet une limite infinie à gauche ou à droite en a.

Soit f une fonction définie au voisinage de +∞ (resp. −∞). Soit (a, b, c) ∈ R³. On dit que la courbe représentative de f admet une asymptote horizontale d'équation y = c en +∞ (resp. −∞) si on a lim_x→+∞ f(x) = c (resp. lim_x→−∞ f(x) = c).
On dit que la courbe représentative de f admet une asymptote oblique d'équation y = ax + b en +∞ (resp. −∞) si on a lim_x→+∞ f(x) − (ax + b) = 0 (resp. lim_x→−∞ f(x) − (ax + b) = 0).

Si f admet une asymptote oblique d'équation y = ax + ben +∞ (resp. en −∞) alors on a lim_x→+∞ f(x)/x = a (resp. lim_x→−∞ f(x)/x = a).

Supposons que f admette une asymptote oblique d'équation y = ax + ben +∞. Alors on trouve lim_x→+∞ f(x) − (ax + b)/x = 0 or lim_x→+∞ b/x = 0 donc lim_x→+∞ f(x)/x − a = 0.

Le cas de l'asymptote oblique en −∞ se traite de manière analogue.

Continuité en un point

Soit f une fonction réelle d'une variable réelle et a un réel en lequel f est définie. On dit que f est continue en a si pour tout intervalle ouvert J contenant f(a) il existe un intervalle ouvert I contenant a tel que pour tout x ∈ I ∩ D_f on a f(x) ∈ J.

Toute fonction constante est continue en tout point.
La fonction identité est continue sur R.
La fonction racine carrée est continue sur R⁺.

Soit c ∈ R. On définit la fonction f constante de valeur c sur R. Soit a ∈ R. Soit J un intervalle ouvert contenant f(a) = c. Pour tout x ∈ R on a f(x) = c ∈ J.
Soit a ∈ R. Soit J un intervalle ouvert contenant id(a) = a. Pour tout x ∈ R on a l'équivalence id(x) ∈ J ⇔ x ∈ J.
Soit a ∈ R^∗+. Soit J un intervalle ouvert contenant √a dans R⁺. On note J = ]b, c[. Pour tout x ∈ R⁺ on a les équivalences √x ∈ J ⇔ b < √x < c ⇔ b² < x < c².
De même, pour tout intervalle J ouvert et contenant 0, on note J = ]b, c[ et on a les équvalences pour tout x ∈ R⁺, √x ∈ J ⇔ x < c².

Soit a ∈ R et soit f une fonction d'une variable réelle soit a ∈ R tel que f soit définie en a et au voisinage à gauche ou à droite de a. La fonction f est continue en a si et seulement si on a lim_x→a f(x) = f(a).
En particulier, si la fonction f est définie à droite et à gauche en a, la fonction est continue en a si et seulement si on a lim_{x→a ; x<a} f(x) = lim_{x→a ; x>a} f(x) = f(a).

Ainsi, la fonction partie entière n'est pas continue en tout a ∈ Z, car on a lim_{x→a ; x<a} E(x) = a − 1 et lim_{x→a ; x>a} E(x) = a.

Soit I un intervalle non dégénéré de R. Soit a ∈ I. Soient f et g deux fonctions réelles définies sur I et continues en a. Alors f+g et f×g sont continues en a.
En outre, si g(a) ≠ 0 alors la fonction g ne s'annule pas au voisinage de a et le quotient f/g est continu en a.

Soient I et J deux intervalles non dégénérés de R. Soit a ∈ I. Soit f une fonction réelle définie sur I à valeurs dans J et continue en a. Soit g une fonction réelle définie sur J et continue en b = f(a). Alors g◦f est continue en a.

Continuité sur un intervalle

Soit f une fonction réelle définie sur un domaine D de R. On dit que f est continue sur D si elle est continue en tout réel a de D.

Restriction et prolongement

Toute restriction d'une fonction continue est continue.

Si la restriction d'une fonction f à un intervalle ouvert I est continue, alors la fonction f est continue en tout point de I.

On en déduit que dans le cas d'une fonction définie par morceaux, la continuité se démontre par restriction à chaque intervalle ouvert et par limite à gauche et à droite en chaque point de la subdivision.

Prolongement par continuité

Limite de fonction et continuité

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