Soit x>0. Pour tout entier N > 0, on a u_N = − ∑_{n=1}^N (ln(1+x/n) − x/n).
On a ln(1+x/n) = x/n − x²/2n² + o_{n→+∞}(1/n²)
Donc ln(1+x/n) − x/n = −x²/2n² + o_{n→+∞}(1/n²)
donc la série de terme général ln(1+x/n) − x/n converge par critère de Riemann et théorème de négligeabilité.
Donc P_N(x) = exp(−u_N) converge vers e^-L où L = lim u_N.
Question 3 : on utilise un changement de variable u = x/n.
Question 4a : I1(x) = ∫_0^1 (1−u)u^{x−1} du = [(1−u)u^x/x]_0^1 + ∫_0^1 u^x/x du
= [u^{x+1}/(x(x+1))]_0^1 = 1/(x(x+1)) = 1/x − 1/(x+1)
Question 4b on procède par récurrence
Pour N=1 on trouve I_N(x) = 1/(x(x+1)) donc la propriété est vraie au rang 1.
Soit N > 0 tel que la propriété soit vraie au rang N.
On a I_{N+1}(x) = (N+1)^x ∫_0^1 (1−u)^{N+1} u^{x−1} du
Or l’intégrale se réécrit par IPP : [(1−u)^{N+1} u^x/x]_0^1 + ∫_0^1 (N+1)(1−u)^N u^x/x du
Donc I_{N+1}(x) = (N+1)^{x+1} ∫_0^1 (1−u)^N u^x/x du
= (N+1)^{x+1} I_N(x+1) / (N^{x+1} x) = (N+1)^{x+1} N!/((x+1)(x+2)⋯(x+N+1))) /x
= (N+1)^x (N+1)!/(x(x+1)⋯(x+N+1))
donc la propriété est héréditaire.
Finalement, la propriété est vraie pour tout N > 0.
Question 5 : pour tout x > 0, pour tout N > 0,
1/I_N(x) = x(x+1)⋯(x+N)/(N^x N!) = x (x+1)(x/2+1)(x/3+1)⋯(x/N+1)/N^x
= x P_N(x) exp(−x ln(N)) × ∏_{n=1}^N exp(x/n)
= x P_N(x) exp(∑_{n=1}^N x/n − x ln(N)) = x P_N(x) exp(x(∑_{n=1}^N 1/n − ln(N)))
Question 6 : la fonction t ↦ e^-t t^{x−1} est définie et continue sur ]0, +∞[.
Pour tout t > 0, on a e^-t ≤ 1 donc e^-t t^{x−1} ≤ 1/t^{1−x} avec 1−x < 1 donc la fonction t↦1/t^{1−x} est intégrable en 0 par critère de Riemann donc par théorème de comparaison la fonction t ↦ e^-t t^{x−1} aussi.
De même pour tout t > 0, on a t^2 × e^-t t^{x−1} = e^-t t^{x+1} → 0 en +∞ par croissance comparée donc e^-t t^{x−1} = o_{t→+∞}(1/t²) donc la fonction est aussi intégrable en +∞ par critère de Riemann et négligeabilité.
Question 7 : la fonction est positive et continue mais non constamment nulle sur l’intervalle ]0,+∞[ donc l’intégrale est strictement positive.
Question 8a : Γ(x)−I_N(x) = ∫_0^∞ e^-t t^{x-1} dt − ∫_0^N (1−t/N)^N t^{x−1} dt
= ∫_0^N e^-t t^{x-1} dt + ∫_N^∞ e^-t t^{x-1} dt − ∫_0^N (1−t/N)^N e^t e^-t t^{x−1} dt
= ∫_N^∞ e^-t t^{x-1} dt + ∫_0^N (1 − (1−t/N)^N e^t) e^-t t^{x−1} dt
= ∫_N^∞ e^-t t^{x-1} dt + ∫_0^N f_N(t) e^-t t^{x−1} dt
Question 8b : On résout pour tout t ∈ [0, N] :
0 ≤ f_N(t) ≤ 1 ⇔ 1 ≥ (1−t/N)^N e^t ≥ 0 ⇔ 0 ≤ (1−t/N)^N ≤ e^-t
La première inégalité est vérifiée car t<N.
La 2e inégalité se réécrit N ln(1−t/N) ≤ −t ⇔ ln(1−t/N) ≤ −t/N.
Or on a pour tout x ∈ ]0, 1[, ln(1−x)≤−x.
Questions 8c : on raisonne par équivalences : f_N(t) ≤ 1 − exp(N(ln(1−α)+α))
⇔ (1−t/N)^N e^t ≥ exp(N(ln(1−α)+α))
⇔ N ln(1−t/N) + t ≥ N(ln(1−α)+α)
⇔ ln(1−t/N) + t/N ≥ ln(1−α) + α
On étudie la fonction g : h ↦ ln(1−h) + h, définie et dérivable sur [0, 1[ avec ∀h∈[0, 1[,
g′(h) = −1/(1−h) + 1 = (−1 + 1−h)/(1−h) = −h/(1−h) < 0
donc g est strictement décroissante sur [0, 1[ donc g(t/N) ≥ g(α) si t/N ≤ α ⇔ t ≤ Nα.
Donc l’inégalité est démontrée pour tout t ∈ [0, Nα].
Donc |Γ(x) − I_N(x)| ≤ ∫_N^∞ e^-t t^{x−1} dt+∫_0^{Nα} (1−exp(N(ln(1−α)+α)))e^-t t^{x-1}
+∫_{Nα}^N (1−exp(N(ln(1−α)+α)))e^-t t^{x-1} dt
Donc |Γ(x) − I_N(x)| ≤ ∫_N^∞ e^-t t^{x−1} dt+∫_0^∞ e^-t t^{x−1} dt + (1−e^()) Γ(x).
On pose α = N^{−2/3}.
Alors Nα = N^{1/3} → +∞
Mais ln(1−α)+α = α²/2 + o(α²) = N^{−4/3}/2 + o(N^(−4/3))
Les deux intégrales tendent vers 0 lorsque N tend vers +∞ par identification des bornes.
N(ln(1−α)+α) = N^(−1/3) + o(N^(−1/3)) → 0 lorsque N tend vers +∞ donc l’exponentielle tend vers 1 donc le 3e terme tend vers 0.
Question 11 : on fait tendre N vers +∞ dans l’égalité de la question 5 et on trouve
1/Γ(x) = x ∏_{n=1}^∞ (1+x/n)e^-x/n lim exp(...)
Pour montrer que la suite v_N = (1+1/2+⋯+1/N−ln(N)) converge, on calcule w_N=v_N−v_{N+1}.
et on montre que la série de terme général w_N converge à l’aide d’un développement limité.