Pour tout n ∈ N, on définit la fonction gn : x ↦ x − n ln(x) sur R+∗.
Soit n ∈ N. Déterminer les variations et limites de gn.
Si n ≥ 3, montrer que l’équation x = n ln(x) admet deux solutions réelles. On notera un la plus petite de ces deux solutions.
Pour tout n ≥ 3, déterminer le signe de gn+1(un). En déduire que la suite (un) est décroissante.
Montrer que la suite (un) converge vers 1.
Montrer que la suite (n(un − 1)) converge vers 1.
Loi du maximum
Soit (X1, … , Xn)
une famille de variables aléatoires indépendantes
telles que pour tout i ∈ ⟦1, n⟧
la variable Xi
suive la loi uniforme sur l’intervalle ⟦1, i⟧.
Déterminer la loi du maximum M = max(X1, … , Xn).
Trigonométrie
Montrer que pour tout x ∈ R on a
sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)
et cos(2x) = cos(x)2 − sin(x)2.
En déduire que pour tout x ∈ ]0 ; π[ on a
(sin(x))/(1 − cos(x)) = (1)/(tan(x/2)).
Pour tout entier n ≥ 2 on pose
Sn
= ∑k=0n−1
sin((kπ)/(n)).
Montrer que Sn
= (1)/(tan((π)/(2n))).
En déduire la limite de la suite (Sn / n)
Puissances de matrices
Soit n ∈ N∗.
Déterminer l’expression des puissances de la matrice A ∈ ℳn(R) dont tous les coefficients valent 1.
Soit p ∈ N∗.
Montrer que ∑i=1p(i parmi p)ni−1
= ((n + 1)p − 1)/(n).
En déduire une expression de Bp, où B ∈ ℳn(R) est la matrice dont les coefficients s’écrivent
pour tout (i, j) ∈ ⟦1, n⟧2,
bi,j
= 1 si i ≠ j
et bi,i = 2.
Montrer que la matrice B est inversible et préciser l’expression des coefficients de B−1.
Formule de Taylor avec reste intégral
Soit f une fonction de classe 𝒞n+1 sur un intervalle I. Soient a et b deux réels dans I. Démontrer la formule
f(b)
= ∑k=0n((b − a)k)/(k!)f(k)(a)
+ ∫ab((b − t)n)/(n!)f(n+1)(t) dt.
Soit x ∈ R. Montrer l’égalité
exp(x) = ∑k=0n(xk)/(k!)
+ ∫0x((x − t)n)/(n!)
exp(t) dt.
Montrer que pour tout t ∈ R
tel que |t| ≤ |x|
on a |((x − t)n)/(n!)
exp(t)|
≤ ((2|x|)n)/(n!) exp(|x|).
En déduire la convergence de la série exponentielle.
Matrice aléatoire
On considère deux variables aléatoires indépendantes X et Y suivant une même loi géométrique de paramètre p ∈ ]0 ; 1[.
Montrer que la matrice [[X ;2Y][2Y ;X]] est inversible si et seulement si X ≠ 2Y.
Calculer la probabilité P(X = 2Y).
En déduire la probabilité pour que la matrice soit inversible.