Devoir non surveillé n^o 3

Puissance de matrice et diagonalisation

Dans ce problème, n est un entier naturel et ℳ₃(R) est l’ensemble des matrices carrées d’ordre 3 à coefficients réels. I est la matrice unitaire de ℳ₃(R) et M = [[−7 ;0 ;−8 ;]][4 ;1 ;4 ;]][4 ;0 ;5 ;]]

1. Calculer A = 1/4(M − I) puis A².
2. Démontrer que pour tout n ∈ N, il existe u_n ∈ R tel que Mⁿ = I + u_nA.
3. Montrer que la suite (u_n) ainsi définie satisfait une relation de récurrence et en déduire l’expression directe de u_n en fonction de n. En déduire l’expression des coefficients de Mⁿ.
4. On pose et J = [[−1 ;0 ;−2 ;]][1 ;1 ;1 ;]][1 ;0 ;2 ;]]. Calculer J² puis Jⁿ pour tout n ∈ N. Montrer que la matrice J n’est pas inversible.
5. On note E l’ensemble des matrices de la forme aI + bJ avec a et b réels.
   Montrer qu’on a M ∈ E et en déduire une expression de Mⁿ pour tout n ∈ N.
6. Déterminer les vecteurs propres et valeurs propres de J.
7. En déduire que M est diagonalisable et préciser une matrice inversible P ainsi qu’une matrice diagonale D telles que M = PDP⁻¹.
8. Exprimer les coefficients des puissances de D et retrouver ainsi les coefficients des puissances de M.

Taux de panne d’une variable discrète

Pour toute variable aléatoire X à valeurs dans N^∗ vérifiant la condition (H) : ∀n ∈ N, P(X > 0) > 0 on appelle taux de panne associé à X la suite réelle (x_n) définie par : ∀n ∈ N, P_X≥n(X = n) (probabilité conditionnelle de l’événement {X = n} sachant {X ≥ n}).

1. Montrer que pour tout entier n non nul : x_n = P(X = n)/P(X ≥ n)).
2. On suppose dans cette question que Y suit une loi géométrique de paramètre p. Déterminer alors le taux de panne associé à Y.
3. On suppose dans cette question que la loi de Z est donnée par : ∀n ∈ N, P(Z = n) = 1/n(n + 1))
   1. Déterminer deux réels a et b tels que, pour tout n ∈ N, 1/n(n + 1)) = a/n) + b/n + 1).
   2. Vérifier que Z est une variable aléatoire, c’est-à-dire qu’on a ∑_n=1^+∞ P(Z = n) = 1.
   3. La variable Z admet-elle une espérance ?
   4. Pour tout n ∈ N^∗, calculer la probabilité P(Z ≥ n). Déterminer alors le taux de panne associé à Z.
4. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N^∗ vérifiant l’hypothèse (H). On note (x_n) son taux de panne.
   1. Montrer que pour tout n ≥ 2, P(X ≥ n) = ∏_k=1ⁿ⁻¹ (1 − x_k)
   2. Exprimer, pour tout n ∈ N^∗ la probabilité p_n = P(X = n) à l’aide des éléments de la suite (x_k), et plus précisément montrer que : p_n = x_n ∏_k=1ⁿ⁻¹ (1 − x_k).
   3. En déduire toutes les lois de variables aléatoires à valeurs dans N^∗ vérifiant (H) avec un taux de panne constant.