Cahier de textes et programme des colles de mathématiques en KBL

Des annales des sujets de mathématiques aux différents concours pour les BL sont disponibles sur le site de l’APML.

Les définitions et résultats répertoriés en tête de chaque chapitre sont susceptibles d’être demandés en interrogation de cours ou en colle. En question de cours en début de colle, sauf indication contraire, chaque propriété doit être accompagnée de sa démonstration.

Questions de cours
Reformulation de la covariance
Covariance de variables indépendantes
Encadrement du coefficient de corrélation linéaire
Estimateur sans biais de la variance avec espérance connue
Estimateur sans biais de la variance avec espérance inconnue
Loi faible des grands nombres
Programme de colles
Exercices de calcul d'intervalles de fluctuation
Exercices de calcul de loi conjointe, loi marginale, loi conditionnelle, covariance et coefficient de corrélation linéaire pour des variables discrètes.
Détermination d’estimateurs sans biais à partir d’un échantillon de variables aléatoires, comparaison d’estimateurs sans biais par le calcul de la variance. Les intervalles de confiance n’ont pas encore été vus.
Cours
Estimateurs : intervalle de confiance
Soutien
Calcul d'espérance
TD
Exercices sur les estimateurs

Questions de cours
Encadrement de la fréquence à l’aide de la loi normale
Simplification de l’encadrement de la fréquence
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev et application à la formulation d’un intervalle de fluctuation
Reformulation de la covariance
Covariance de variables indépendantes
Encadrement du coefficient de corrélation linéaire
Programme de colles
Exercices sur la diagonalisation
Exercices de calcul d'intervalles de fluctuation
Exercices de calcul de loi conjointe, loi marginale, loi conditionnelle, covariance et coefficient de corrélation linéaire pour des variables discrètes.
Cours
Estimateurs
Soutien
Calcul d'espérance
TD
Exercices sur les estimateurs

Questions de cours
Caractère sans mémoire de la loi exponentielle
Variance de la loi uniforme
Variance de la loi exponentielle
Encadrement de la fréquence à l’aide de la loi normale
Simplification de l’encadrement de la fréquence
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev et application à la formulation d’un intervalle de fluctuation
Programme de colles
Exercices sur les variables à densité et les intervalles de fluctuation
Cours
Covariance de variables aléatoires discrètes
Soutien
Loi de variables aléatoires discrètes
TD
Exercices sur la loi de couples de variables aléatoires

Questions de cours
Puissances de matrices semblables
Caractérisation de la diagonalisabilité à l’aide des vecteurs propres
Matrice carrée de taille n admettant n valeurs propres
Caractère sans mémoire de la loi exponentielle
Variance de la loi uniforme
Variance de la loi exponentielle
Programme de colles
Exercices sur les intégrales généralisées et sur les variables à densité
Cours
Intervalle de fluctuation
Soutien
Variable aléatoires et calcul d’intégrales
TD
Exercices sur les variables aléatoires à densité

Questions de cours
Théorème de comparaison
Convergence de l’intégrale de Gauss (la valeur doit être connue mais la démonstration de la valeur est hors programme)
Lien entre convergence et convergence absolue
Puissances de matrices semblables
Caractérisation de la diagonalisabilité à l’aide des vecteurs propres
Matrice carrée de taille n admettant n valeurs propres
Programme de colles
Exercices sur les intégrales généralisées
Exercices sur la diagonalisation
Cours
Variables aléatoires à densité
Soutien
Variable aléatoires et calcul d’intégrales
TD
Exercices sur les variables aléatoires à densité

Questions de cours
Intégrale d’une fonction exponentielle sur [0 ; +∞[
Intégrale de la fonction logarithme sur ]0 ; 1]
Critère de Riemann pour l’intégrabilité des fonctions puissances
Théorème de comparaison
Convergence de l’intégrale de Gauss (la valeur doit être connue mais la démonstration de la valeur est hors programme)
Lien entre convergence et convergence absolue
Programme de colles
Exercices sur les intégrales généralisées
Cours
Diagonalisation
Soutien
Manipulation des vecteurs colonnes, noyau et image d’une matrice
TD
Exercices de diagonalisation

Questions de cours
Indépendance linéaire de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes
Spectre de la transposée et dimension des espaces propres
Lien entre valeurs propres et polynôme annulateur
Intégrale d’une fonction exponentielle sur [0 ; +∞[
Intégrale de la fonction logarithme sur ]0 ; 1]
Critère de Riemann pour l’intégrabilité des fonctions puissances
Programme de colles
Exercices sur le spectre et les espaces propres d’une matrice ou d’un endomorphisme
Exercices sur les intégrales généralisées seulement dans le cas où l’on parvient à déterminer une primitive
Cours
Intégrale généralisée : critères de convergence, absolue convergence
Soutien
Calcul de limites, équivalents et comparaison de croissance
TD
Exercices d’intégrales généralisées

En raison du 1er concours blanc de la classe, les colles sont suspendues et reprendront à partir du lundi 20 novembre.

Cours
Intégrale généralisée : exemples, caractérisation de l’intégrabilité à l’aide d’une primitive, critère de Riemann
Soutien
Révision des méthodes d’intégration et calcul d’intégrales
TD
Exercices de calcul d’intégrales généralisées
Devoir
Concours blanc no 1 le

Questions de cours
Espérance d’une variable aléatoire suivant une loi géométrique
Espérance d’une variable aléatoire suivant une loi de Poisson
Somme de deux variables indépendantes suivant des lois de Poisson
Indépendance linéaire de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes
Spectre de la transposée et dimension des espaces propres
Lien entre valeurs propres et polynôme annulateur
Programme de colles
Exercices sur le spectre et les espaces propres d’une matrice (les endomorphismes seront vus cette semaine en cours et la somme directe des espaces propres n’a pas encore été développée)
Exercices sur les variables aléatoires discrètes
Cours
Analyse spectrale d’un endomorphisme
Soutien
Révision de la représentation matricielle
TD
Exercices sur le spectre d’un endomorphisme

Questions de cours
Critère du terme général négligeable
Critère de D’Alembert
Série géométrique dérivée d’ordre 1
Espérance d’une variable aléatoire suivant une loi géométrique
Espérance d’une variable aléatoire suivant une loi de Poisson
Somme de deux variables indépendantes suivant des lois de Poisson
Programme de colles
Exercices sur les variables aléatoires discrètes
Exercices sur les séries
Cours
Analyse spectrale d’une matrice
Soutien
Révision du calcul du noyau et de l’image pour une matrice avec des coefficients à paramètre
TD
Exercices sur le spectre d’une matrice

Questions de cours
Variance de la loi uniforme
Divergence de la série harmonique
Théorème de comparaison pour les séries à termes positifs
Critère du terme général négligeable
Critère de D’Alembert
Série géométrique dérivée d’ordre 1
Programme de colles
Exercices sur les séries
Cours
Variables aléatoires discrètes
Soutien
Révision de l’intégrale
TD
Exercices sur les variables aléatoires discrètes
Devoir
Devoir non surveillé no 2 pour le

Questions de cours
Divergence de la série harmonique
Théorème de comparaison pour les séries à termes positifs
Variance de la loi uniforme
Espérance de la loi uniforme
Espérance et variance de la loi de Bernoulli
Formule de König-Huygens
Propriété quadratique de la variance
Loi binomiale et vérification de la somme des probabilités
Programme de colles
Exercices sur les variable aléatoires discrètes avec un support fini
Exercices sur les séries à l’aide des séries de référence ou des séries téléscopiques voire en utilisant un équivalent du terme général
Cours
Séries : théorèmes de convergence, critère de D’Alembert, convergence absolue, série exponentielle et séries géométriques dérivées
Soutien
Révision des équivalents
TD
Exercices sur les séries
Devoir
Devoir surveillé no 1 le

Questions de cours
Espérance de la loi uniforme
Espérance et variance de la loi de Bernoulli
Formule de König-Huygens
Propriété quadratique de la variance
Loi binomiale et vérification de la somme des probabilités
Programme de colles
Exercices sur les variable aléatoires discrètes avec un support fini
Cours
Séries : cadre général, série géométrique, série harmonique, séries alternées, théorème de comparaison, série de Riemann
Distribution de la fiche méthode sur la convergence des suites et séries
Soutien
Révision des suites
TD
Exercices sur les séries

Cours
Fin du cours sur les variable aléatoires avec un univers fini : variance, loi binomiale, indépendance
Distribution de la fiche méthode sur les variables aléatoires
Méthode de calcul pour la loi du maximum et du minimum pour une liste de variables indépendantes
Soutien
Révision des probabilités
TD
Exercices sur les variables aléatoires discrètes

Le début des cours a lieu .

Cours
Révisions pour le devoir non surveillé : noyau et image, dimension, polynômes, matrices semblables ou équivalentes, condition d’inversibilité
TD
Exercices sur les variables aléatoires discrètes

Avant la rentrée

Le devoir non surveillé de transition (DNS1) est à rendre pour .