Cahier de textes et programme des colles de mathématiques en KBL

Des annales des sujets de mathématiques aux différents concours pour les BL sont disponibles sur le site de l’APML.

En question de cours en début de colle, sauf indication contraire, chaque propriété doit être accompagnée de sa démonstration.

Les colles sont suspendues pendant deux semaines pour la période du premier concours blanc. La reprise des colles se fera lundi 19 novembre.

Travail personnel
Devoir non surveillé no 4 : ENS 2008 exercice II sur les matrices 2 × 2 aléatoires et HEC 2014 exercice 3 sur des tirages successifs dans différentes urnes contenant un nombre de boules en décroissant.

Travail personnel
Exercices sur l’intégrale généralisée
Démonstration de cours en début de colle
Formule de Grassmann
Caractérisation de la somme directe pour deux sous-espaces vectoriels
Existence d’un supplémentaire
Intégrale de l’exponentielle
Critère de Riemann
Théorème de comparaison
Programme de colles
Détermination de la somme ou de l’intersection de sous-espaces vectoriels, justification de la somme directe, recherche d’un supplémentaire, étude de projections et symétries.
Exercices de calcul d’intégrale généralisée pour des fonctions positives et détermination de la convergence. Attention, la notion d’équivalent n’est plus au programme. À la place, les élèves peuvent se ramener au produit d’une fonction dont on connait l’intégrabilité et d’une fonction convergeant vers un réel non nul. Ils peuvent aussi utiliser le théorème de comparaison avec le critère de Riemann en étudiant la limite de xαf(x) en 0 et en +∞.
Cours
Valeurs propres, vecteurs propres et espaces propres
Soutien
Révisions algèbre
TD
Exercices sur les vecteurs et valeurs propres

Travail personnel
Exercices sur la décomposition d’un espace vectoriel en somme de sous-espaces, projecteurs et symétries
Démonstration de cours en début de colle
Intégration d’un développement limité
Développement limité de l’exponentielle
Développement limité du logarithme
Formule de Grassmann
Caractérisation de la somme directe pour deux sous-espaces vectoriels
Existence d’un supplémentaire
Programme de colles
Détermination de la somme ou de l’intersection de sous-espaces vectoriels, justification de la somme directe, recherche d’un supplémentaire, étude de projections et symétries.
Analyse locale d’une fonction à l’aide de son développement limité à partir des formules au programme (le développement des fonctions trigonométriques doit être redémontré à partir de Taylor-Young par exemple). Un développement limité peut être utilisé pour mener à un développement asymptotique, même si la notion n’est pas explicitement au programme.
Cours
Intégrale généralisée
Soutien
Révisions intégrale
TD
Exercices sur l’intégrale généralisée

Travail personnel
Exercices de développement limité
Travail personnel
Devoir non surveillé no 3 : ENS 2007 problème sur les matrices nilpotentes.
Démonstration de cours en début de colle
Classification des sous-espaces vectoriels de R2
Caractérisation de l’injectivité pour une application linéaire
Théorème du rang
Intégration d’un développement limité
Développement limité de l’exponentielle
Développement limité du logarithme
Programme de colles
Analyse locale d’une fonction à l’aide de son développement limité à partir des formules au programme (le développement des fonctions trigonométriques doit être redémontré à partir de Taylor-Young par exemple). Un développement limité peut être utilisé pour mener à un développement asymptotique, même si la notion n’est pas explicitement au programme.
Exercices d’algèbre linéaire : résolution de systèmes linéaires, calcul sur les matrices (sans notion de déterminant sauf sur les matrices de taille 2), recherche de bases de sous-espaces vectoriels de dimension finie, notamment le noyau et l’image d’applications linéaires, calcul de dimension avec le théorème du rang. La somme de sous-espaces vectoriels n’est pas encore au programme.
Cours
Décomposition d’un espace vectoriel en somme de sous-espaces
Soutien
Révisions algèbre linéaire
TD
Exercices sur la décomposition d’un espace vectoriel en somme de sous-espaces

Questions de cours
Factorisation à l’aide d’une liste de racines
Propagation d’une racine multiple au polynôme dérivé
Changement de signe pour un polynôme
Caractérisation d’un extremum local pour un polynôme
Classification des sous-espaces vectoriels de R2
Caractérisation de l’injectivité pour une application linéaire
Théorème du rang
Programme de colles
Exercices d’étude d’une fonction réelle d’une variable réelle définie à partir des fonctions de référence avec détermination éventuelle d’asymptotes oblique.
Exercices d’algèbre linéaire : résolution de systèmes linéaires, calcul sur les matrices (sans notion de déterminant sauf sur les matrices de taille 2), recherche de bases de sous-espaces vectoriels de dimension finie, notamment le noyau et l’image d’applications linéaires, calcul de dimension avec le théorème du rang. La somme de sous-espaces vectoriels n’est pas encore au programme.
Exercices d’étude d’une fonction polynôme, factorisation à l’aide de racines réelles, étude locale.
Cours
Développement limité
Soutien
Révisions dérivation et intégration
TD
Exercices sur le développement limité
Devoir
Devoir surveillé no 1

Les colles de mathématiques débutent à partir du lundi 17 septembre.

Travail personnel
Devoir non surveillé no 2 : polynômes de Tchebychev
Questions de cours
Factorisation à l’aide d’une liste de racines
Propagation d’une racine multiple au polynôme dérivé
Changement de signe pour un polynôme
Caractérisation d’un extremum local pour un polynôme
Programme de colles
Exercices d’étude d’une fonction réelle d’une variable réelle définie à partir des fonctions de référence avec détermination éventuelle d’asymptotes oblique.
Exercices d’étude d’une fonction polynôme, factorisation à l’aide de racines réelles, étude locale.
Cours
Représentation matricielle d’un endomorphisme, changement de base
Distribution des fiches mémos dénombrement, probabilités, statistiques et variables aléatoires.
Soutien
Révisions calcul matriciel et applications linéaires
TD
Exercices d’algèbre linéaire

Travail personnel
Problème 2 sur les fonctions et problème 2 d’analyse
Questions de cours
Formules sur le degré et les opérations
Cours
Fonctions polynômes : division euclidienne, racine, racines multiples, étude locale
Soutien
Étude de fonction
TD
Exercices sur les fonctions polynômes

Lundi, la journée est banalisée pour l’accueil des élèves.

Cours
Méthode de détermination des asymptotes
Fonctions polynômes : vocabulaire, limites à l’infini, opérations et degré
Distribution des fiches mémos étude locale et analyse sur espace euclidien.
TD
Exercices d’étude de fonction et détermination d’asymptotes obliques

Avant la rentrée

Le devoir non surveillé de transition (DNS1) est à rendre pour .

Les élèves peuvent vérifier leurs connaissances à l’aide des fiches mémo des rappels de lycée, sur la logique et les ensembles, sur les nombres entiers, réels et complexes, sur les fonctions de référence. D’autres fiches suivent.