Cahier de textes et programme des colles de mathématiques en KBL

Des annales des sujets de mathématiques aux différents concours pour les BL sont disponibles sur le site de l’APML.

Les deux semaines de colles porteront sur tous les chapitres de probabilités, à savoir : dénombrement, probabilités, variables aléatoires sur un univers fini, variables aléatoires discrètes ou à densité, inégalités en probabilités, familles de variables aléatoires réelles.

La colle pourra commencer par l’énoncé de l’une des définitions fondamentales (indépendance, espérance, variance, probabilité conditionnelle, covariance, coefficient de corrélation linéaire), l’une des lois de probabilité de référence avec son espérance et sa variance, ou l’une des formules fondamentales de probabilités (probabilités totales, Bayes, Koenig-Huygens, théorème de transfert, inégalités de Markov ou de Bienaymé-Tchebychev).

Sujets en classe
ENS 2005

Les élèves sont en concours blanc du mardi 26 février au mercredi 6 mars. Les colles reprendront lundi 11 mars.

Les deux semaines de colles porteront sur tous les chapitres d’algèbre, à savoir : nombres complexes, polynômes, systèmes d’équations linéaires, vecteurs de composantes réelles, matrices, applications matricielles, espaces vectoriels et applications linéaires, décomposition d’un espaces vectoriels, projecteurs et symétries, vecteurs propres, valeurs propres et espaces propres, diagonalisation.

La colle pourra commencer par l’énoncé de l’une des définitions fondamentales (conjugué et module, exponentielle complexe, racine et ordre de multiplicité, système de Cramer, colinéarité, famille libre ou génératrice, base, dimension, rang, projecteur, symétrie, valeur propre et vecteur propre, espace propre, inversibilité, diagonalisabilité) ou l’un des résultats d’algèbre (formules d’Euler, caractérisation de l’ordre de multiplicité avec le polynôme dérivé, transposée du produit, théorème du rang, formule de Grassmann, famille de vecteurs propres, caractérisation de la diagonalisabilité avec les espaces propres).

Sujets en classe
ENS 2017
Devoir
Devoir surveillé no 2

À partir du lundi 21 janvier, la colle commence par l’énoncé d’une ou deux définitions ou formules de référence listées, au choix du colleur.

Les deux semaines de colles porteront sur tous les chapitres d’analyse sur les suites, séries et fonctions d’une ou deux variables réelles, à savoir : suites réelles, limite de suite, séries, fonctions, analyse locale, analyse asymptotique, analyse globale, exponentielle et logarithme, trigonométrie, intégration sur un segment et intégrale généralisée, développement limité et fonctions de deux variables.

La colle pourra commencer par l’énoncé de l’une des définitions fondamentales (dérivée, équation de la tangente, suite arithmétique ou géométrique, suites adjacentes), l’une des fonctions de référence avec domaine, dérivée, limites, représentation graphique, un développement limité de référence, l’une des séries ou intégrales de référence, ou encore l’un des nombreux résultats d’analyse (critère de convergence de suite, fonction, série ou intégrale, théorème d’analyse globale).

Sujet en classe
HEC 2018

Travail personnel
Sur les fonctions de deux variables, exercice 3
Démonstration de cours en début de colle
Inégalité triangulaire
Condition nécessaire pour un extremum local
Nature du point critique pour une fonction quadratique
Inégalité de Markov
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Loi faible des grands nombres
Programme de colles
Exercices sur les fonctions réelles de deux variables : calcul de dérivées partielles d'ordre 1 ou 2, recherche des points critiques, détermination d'un extremum local à l'aide du discriminant de la fonction quadratique associée.
Exercices sur les inégalités en probabilités : il s’agit essentiellement d’appliquer l’inégalité de Markov pour majorer la probabilité d’un intervalle, ou d’utiliser l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour obtenir un intervalle de fluctuation sur une variable aléatoire, et en déduire un intervalle de confiance sur un paramètre.
Sujet en classe
ENS 2018

Travail personnel
Sur les fonctions de deux variables, exercice 3
Démonstration de cours en début de colle
Inégalité triangulaire
Théorème de Pythagore avec identité remarquable
Coordonnées dans une base orthonormée
Espace vectoriel orthogonal supplémentaire
Condition nécessaire pour un extremum local
Nature du point critique pour une fonction quadratique
Programme de colles
Exercices sur les fonctions réelles de deux variables : calcul de dérivées partielles d'ordre 1 ou 2, recherche des points critiques, détermination d'un extremum local à l'aide du discriminant de la fonction quadratique associée.
Exercices sur le produit scalaire dans Rn : calcul de norme et de produit scalaire, recherche de vecteur orthogonal, détermination de l’espace vectoriel orthogonal, calcul du projeté orthogonal d’un vecteur sur un sous-espace. L’orthonormalisation de Gram-Schmidt a été présentée en cours mais n’est pas exigible. La recherche d’une base orthonormée doit donc être guidée.
Cours
Inégalités en probabilités
Soutien
Calcul de dérivées
TD
Fonctions de deux variables
Problèmes de probabilités

Le cours de lundi 17 est déplacé au mercredi 19 en raison de la conférence de Grégory Salle.

La séance de TD de mardi 18 à 16h est déplacée à 14h. Une heure de colle de rattrapage est proposée mardi 18 à 15h en salle C202.

Travail personnel
Sur le produit scalaire, problème 1 (projection sur un hyperplan) pour mardi 18/12
Démonstration de cours en début de colle
Encadrement de la covariance avec cas d’égalité
Variance de la somme de deux variables aléatoires
Espérance et variance de la moyenne empirique
Théorème de Pythagore avec identité remarquable
Coordonnées dans une base orthonormée
Espace vectoriel orthogonal supplémentaire
Questions de cours supplémentaires
Inégalité de Cauchy-Schwarz, inégalité triangulaire, écriture matricielle du produit scalaire, distance entre deux vecteurs
Programme de colles
Exercices sur le produit scalaire dans Rn : calcul de norme et de produit scalaire, recherche de vecteur orthogonal, détermination de l’espace vectoriel orthogonal, calcul du projeté orthogonal d’un vecteur sur un sous-espace. L’orthonormalisation de Gram-Schmidt a été présentée en cours mais n’est pas exigible. La recherche d’une base orthonormée doit donc être guidée.
Exercices sur les variables aléatoires à densité : détermination de la loi d’une variable associée à une variable à densité, loi du maximum ou du minimum d’une famille de variables aléatoires à densité, calcul de covariance entre deux variables qui dérivent d’une même variable à densité (comme X et X2).
Cours
Fonctions de plusieurs variables
Soutien
Révisions algèbre linéaire
TD
Exercices sur les fonctions de plusieurs variables

Travail personnel
Sur les variables aléatoires à densité, exercice 13 sur le minimum et le maximum d’un échantillon de variables exponentielles pour lundi 10/12 et exercices 16 à 18 sur le calcul de covariance pour mardi 11/12.
Démonstration de cours en début de colle
Puissances de matrices semblables
Caractérisation de la diagonalisation par une base de vecteurs propres
Diagonalisabilité en cas de spectre maximal
Encadrement de la covariance avec cas d’égalité
Variance de la somme de deux variables aléatoires
Espérance et variance de la moyenne empirique
Programme de colles
Exercices sur les variables aléatoires à densité : détermination de la loi d’une variable associée à une variable à densité, loi du maximum ou du minimum d’une famille de variables aléatoires à densité, calcul de covariance entre deux variables qui dérivent d’une même variable à densité (comme X et X2).
Exercices de diagonalisation ou détermination de la diagonalisabilité pour des matrices et des endomorphismes en dimension finie. Le critère des matrices symétriques est hors programme.
Cours
Produit scalaire
Soutien
Révisions algèbre linéaire
TD
Exercices sur le produit scalaire

Travail personnel
Sur la diagonalisation : problème 1 (Écricome 2007) pour lundi 3/12, problème 4 pour mardi 4/12
Sur les variables à densité : problème 1 (ENS 2017) pour jeudi 6/12
Démonstration de cours en début de colle
Caractère sans mémoire de la loi exponentielle
Espérance de la loi uniforme
Espérance de la loi exponentielle
Puissances de matrices semblables
Caractérisation de la diagonalisation par une base de vecteurs propres
Diagonalisabilité en cas de spectre maximal
Programme de colles
Exercices sur les variables aléatoires à densité : détermination de paramètre pour obtenir une fonction de densité, calcul de probabilité et de fonction de répartition, espérance et variance. La loi d’un couple de variables aléatoires à densité est hors programme, mais on peut calculer la loi d’un maximum d’une famille de variables aléatoires indépendantes.
Exercices de diagonalisation ou détermination de la diagonalisabilité pour des matrices et des endomorphismes en dimension finie. Le critère des matrices symétriques est hors programme. La caractérisation des matrices semblables en cas de diagonalisabilité n’a pas encore été vue en classe.
Cours
Famille de variables à densité
Soutien
Révisions variables aléatoires à densité
TD
Exercices sur les variables aléatoires à densité

Travail personnel
Sur les variables aléatoires à densité : exercices 5 et 7 pour lundi 26/11 et exercice 9 pour mardi 27/11
Sur la diagonalisation : problème 1 (Écricome 2007) pour jeudi 29/11
Démonstration de cours en début de colle
Indépendance linéaire de vecteurs propres
Spectre et espaces propres de la transposée
Lien entre spectre et racines d’un polynôme annulateur
Caractère sans mémoire de la loi exponentielle
Espérance de la loi uniforme
Espérance de la loi exponentielle
Programme de colles
Exercices sur les vecteurs propres et valeurs propres : l’usage du déterminant est recommandé en dimension 2 mais hors programme au delà.
Exercices sur les variables aléatoires à densité : détermination de paramètre pour obtenir une fonction de densité, calcul de probabilité et de fonction de répartition, espérance et variance. La loi d’un couple de variables aléatoires à densité est hors programme, mais on peut calculer la loi d’un maximum d’une famille de variables aléatoires indépendantes.
Cours
Diagonalisation
Soutien
Révisions valeurs propres et vecteurs propres
TD
Exercices sur la diagonalisation

Travail personnel
Exercices sur les vecteurs propres et valeurs propres : exercice 13 pour lundi 19/11 et probleme 3 pour mardi 20/11
Démonstration de cours en début de colle
Intégrale de l’exponentielle
Critère de Riemann
Théorème de comparaison
Indépendance linéaire de vecteurs propres
Spectre et espaces propres de la transposée
Lien entre spectre et racines d’un polynôme annulateur
Programme de colles
Exercices de calcul d’intégrale généralisée pour des fonctions positives et détermination de la convergence. Attention, la notion d’équivalent n’est plus au programme. À la place, les élèves peuvent se ramener au produit d’une fonction dont on connait l’intégrabilité et d’une fonction convergeant vers un réel non nul. Ils peuvent aussi utiliser le théorème de comparaison avec le critère de Riemann en étudiant la limite de xαf(x) en 0 et en +∞.
Exercices sur les vecteurs propres et valeurs propres : l’usage du déterminant est recommandé en dimension 2 mais hors programme au delà.
Cours
Variables aléatoires à densité
Distribution de la fiche mémo sur l’algèbre linéaire.
Soutien
Révisions variables aléatoires et intégrales généralisées
TD
Exercices sur les variables aléatoires à densité

Les colles sont suspendues pendant deux semaines pour la période du premier concours blanc. La reprise des colles se fera lundi 19 novembre.

Travail personnel
Devoir non surveillé no 4 : ENS 2008 exercice II sur les matrices 2 × 2 aléatoires et HEC 2014 exercice 3 sur des tirages successifs dans différentes urnes contenant un nombre de boules en décroissant.
Cours
Pas de cours pour cause d’absence.

Travail personnel
Exercices sur l’intégrale généralisée
Démonstration de cours en début de colle
Formule de Grassmann
Caractérisation de la somme directe pour deux sous-espaces vectoriels
Existence d’un supplémentaire
Intégrale de l’exponentielle
Critère de Riemann
Théorème de comparaison
Programme de colles
Détermination de la somme ou de l’intersection de sous-espaces vectoriels, justification de la somme directe, recherche d’un supplémentaire, étude de projections et symétries.
Exercices de calcul d’intégrale généralisée pour des fonctions positives et détermination de la convergence. Attention, la notion d’équivalent n’est plus au programme. À la place, les élèves peuvent se ramener au produit d’une fonction dont on connait l’intégrabilité et d’une fonction convergeant vers un réel non nul. Ils peuvent aussi utiliser le théorème de comparaison avec le critère de Riemann en étudiant la limite de xαf(x) en 0 et en +∞.
Cours
Valeurs propres, vecteurs propres et espaces propres
Soutien
Révisions algèbre
TD
Exercices sur les vecteurs et valeurs propres

Travail personnel
Exercices sur la décomposition d’un espace vectoriel en somme de sous-espaces, projecteurs et symétries
Démonstration de cours en début de colle
Intégration d’un développement limité
Développement limité de l’exponentielle
Développement limité du logarithme
Formule de Grassmann
Caractérisation de la somme directe pour deux sous-espaces vectoriels
Existence d’un supplémentaire
Programme de colles
Détermination de la somme ou de l’intersection de sous-espaces vectoriels, justification de la somme directe, recherche d’un supplémentaire, étude de projections et symétries.
Analyse locale d’une fonction à l’aide de son développement limité à partir des formules au programme (le développement des fonctions trigonométriques doit être redémontré à partir de Taylor-Young par exemple). Un développement limité peut être utilisé pour mener à un développement asymptotique, même si la notion n’est pas explicitement au programme.
Cours
Intégrale généralisée
Soutien
Révisions intégrale
TD
Exercices sur l’intégrale généralisée

Travail personnel
Exercices de développement limité
Travail personnel
Devoir non surveillé no 3 : ENS 2007 problème sur les matrices nilpotentes.
Démonstration de cours en début de colle
Classification des sous-espaces vectoriels de R2
Caractérisation de l’injectivité pour une application linéaire
Théorème du rang
Intégration d’un développement limité
Développement limité de l’exponentielle
Développement limité du logarithme
Programme de colles
Analyse locale d’une fonction à l’aide de son développement limité à partir des formules au programme (le développement des fonctions trigonométriques doit être redémontré à partir de Taylor-Young par exemple). Un développement limité peut être utilisé pour mener à un développement asymptotique, même si la notion n’est pas explicitement au programme.
Exercices d’algèbre linéaire : résolution de systèmes linéaires, calcul sur les matrices (sans notion de déterminant sauf sur les matrices de taille 2), recherche de bases de sous-espaces vectoriels de dimension finie, notamment le noyau et l’image d’applications linéaires, calcul de dimension avec le théorème du rang. La somme de sous-espaces vectoriels n’est pas encore au programme.
Cours
Décomposition d’un espace vectoriel en somme de sous-espaces
Soutien
Révisions algèbre linéaire
TD
Exercices sur la décomposition d’un espace vectoriel en somme de sous-espaces

Questions de cours
Factorisation à l’aide d’une liste de racines
Propagation d’une racine multiple au polynôme dérivé
Changement de signe pour un polynôme
Caractérisation d’un extremum local pour un polynôme
Classification des sous-espaces vectoriels de R2
Caractérisation de l’injectivité pour une application linéaire
Théorème du rang
Programme de colles
Exercices d’étude d’une fonction réelle d’une variable réelle définie à partir des fonctions de référence avec détermination éventuelle d’asymptotes oblique.
Exercices d’algèbre linéaire : résolution de systèmes linéaires, calcul sur les matrices (sans notion de déterminant sauf sur les matrices de taille 2), recherche de bases de sous-espaces vectoriels de dimension finie, notamment le noyau et l’image d’applications linéaires, calcul de dimension avec le théorème du rang. La somme de sous-espaces vectoriels n’est pas encore au programme.
Exercices d’étude d’une fonction polynôme, factorisation à l’aide de racines réelles, étude locale.
Cours
Développement limité
Soutien
Révisions dérivation et intégration
TD
Exercices sur le développement limité
Devoir
Devoir surveillé no 1

Les colles de mathématiques débutent à partir du lundi 17 septembre.

Travail personnel
Devoir non surveillé no 2 : polynômes de Tchebychev
Questions de cours
Factorisation à l’aide d’une liste de racines
Propagation d’une racine multiple au polynôme dérivé
Changement de signe pour un polynôme
Caractérisation d’un extremum local pour un polynôme
Programme de colles
Exercices d’étude d’une fonction réelle d’une variable réelle définie à partir des fonctions de référence avec détermination éventuelle d’asymptotes oblique.
Exercices d’étude d’une fonction polynôme, factorisation à l’aide de racines réelles, étude locale.
Cours
Représentation matricielle d’un endomorphisme, changement de base
Distribution des fiches mémos dénombrement, probabilités, statistiques et variables aléatoires.
Soutien
Révisions calcul matriciel et applications linéaires
TD
Exercices d’algèbre linéaire

Travail personnel
Problème 2 sur les fonctions et problème 2 d’analyse
Questions de cours
Formules sur le degré et les opérations
Cours
Fonctions polynômes : division euclidienne, racine, racines multiples, étude locale
Soutien
Étude de fonction
TD
Exercices sur les fonctions polynômes

Lundi, la journée est banalisée pour l’accueil des élèves.

Cours
Méthode de détermination des asymptotes
Fonctions polynômes : vocabulaire, limites à l’infini, opérations et degré
Distribution des fiches mémos étude locale et analyse sur espace euclidien.
TD
Exercices d’étude de fonction et détermination d’asymptotes obliques

Avant la rentrée

Le devoir non surveillé de transition (DNS1) est à rendre pour .

Les élèves peuvent vérifier leurs connaissances à l’aide des fiches mémo des rappels de lycée, sur la logique et les ensembles, sur les nombres entiers, réels et complexes, sur les fonctions de référence. D’autres fiches suivent.