Cahier de textes et programme des colles de mathématiques en KBL

Des annales des sujets de mathématiques aux différents concours pour les BL sont disponibles sur le site de l’APML.

Les définitions et résultats répertoriés en tête de chaque chapitre sont susceptibles d’être demandés en interrogation de cours ou en colle.

En question de cours en début de colle, sauf indication contraire, chaque propriété doit être accompagnée de sa démonstration.

Du fait des consignes de confinement, les cours et TD en classe sont remplacés par une interaction à distance par échanges numériques. Les colles sont suspendues. En date du 16 mars, les dates de concours sont maintenues après le 5 avril.

Sujets à travailler
HEC 2018
Ecricome 2011

Les deux semaines de la rentrée sont occupées par le 2e concours blanc en KHBL. Les colles reprendront donc normalement la semaine du 16 mars, sauf pour quelques volontaires qui souhaitent une colle supplémentaire (ou de rattrapage) les mercredi 11 et vendredi 13 mars.

Les deux semaines de colles porteront sur tous les chapitres d’algèbre, à savoir : nombres complexes, polynômes, systèmes d’équations linéaires, vecteurs de composantes réelles, matrices, applications matricielles, espaces vectoriels et applications linéaires, décomposition d’un espaces vectoriels, projecteurs et symétries, vecteurs propres, valeurs propres et espaces propres, diagonalisation.

La colle pourra commencer par l’énoncé de l’une des définitions fondamentales (conjugué et module, exponentielle complexe, racine et ordre de multiplicité, système de Cramer, colinéarité, famille libre ou génératrice, base, dimension, rang, projecteur, symétrie, valeur propre et vecteur propre, espace propre, inversibilité, diagonalisabilité) ou l’un des résultats d’algèbre (formules d’Euler, caractérisation de l’ordre de multiplicité avec le polynôme dérivé, transposée du produit, théorème du rang, formule de Grassmann, famille de vecteurs propres, caractérisation de la diagonalisabilité avec les espaces propres).

Sujets en classe
HEC 2018

Maintenant que tout le programme a été vu en classe, les colles portent désormais sur une des trois parties du programme, valable deux semaines. Il n’y a plus de démonstration exigée en début de colle, mais chaque élève doit pouvoir citer les définitions et/ou les propriétés au programme, les essentiels étant rappelés ci-dessous.

Les deux semaines de colles porteront sur tous les chapitres de probabilités, à savoir : dénombrement, probabilités, variables aléatoires sur un univers fini, variables aléatoires discrètes ou à densité, inégalités en probabilités, familles de variables aléatoires réelles.

La colle pourra commencer par l’énoncé de l’une des définitions fondamentales (indépendance, espérance, variance, probabilité conditionnelle, covariance, coefficient de corrélation linéaire), l’une des lois de probabilité de référence avec son espérance et sa variance, ou l’une des formules fondamentales de probabilités (probabilités totales, probabilités composées, Bayes, Koenig-Huygens, théorème de transfert, inégalités de Markov ou de Bienaymé-Tchebychev).

Sujet en classe
ENS 2019

Travail personnel
Exercice 2 sur les fonctions de deux variables pour lundi, exercice 3 à commencer pour mardi, à terminer pour jeudi
Démonstration de cours en début de colle
Inégalité de Cauchy-Schwarz
Inégalité triangulaire
Famille orthogonale de vecteurs non nuls
Inégalité de Markov
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Loi faible des grands nombres
Programme de colles
Exercices sur le produit scalaire sans trigonométrie ; l'orthonormalisation de Gram-Schmidt est hors programme mais peut être guidée pour obtenir une base orthonormée
Exercices sur les inégalités en probabilités en particulier calculs d’intervalle de fluctuation et d’intervalle de confiance
Cours
Révision des notions de covariance
Devoir
Devoir surveillé no 2

Travail personnel
Exercice 2 sur les fonctions de deux variables pour lundi, exercice 3 à commencer pour mardi, à terminer pour jeudi
Démonstration de cours en début de colle
Condition nécessaire pour un extremum local
Nature du point critique pour une fonction quadratique non dégénérée
Coefficients d’une régression linéaire par la méthode des moindres carrés
Inégalité de Cauchy-Schwarz
Inégalité triangulaire
Famille orthogonale de vecteurs non nuls
Programme de colles
Exercices sur les fonctions de plusieurs variables : calcul de dérivées partielles, détermination de points critiques, nature du point critique lorsqu’elle peut être déterminée directement (l’usage de la fonction quadratique associée n’a pas pu être complètement travaillée)
Exercices sur le produit scalaire sans trigonométrie ; l'orthonormalisation de Gram-Schmidt est hors programme mais peut être guidée pour obtenir une base orthonormée
Questions de cours supplémentaires
Identités remarquables, décomposition sur une base orthonormée
Cours
Produit scalaire : représentation de l'orthogonal d'un sous-espace vectoriel, topologie dans l'espace

Travail personnel
Exercice 2 sur les fonctions de deux variables pour lundi, exercice 3 à commencer pour mardi, à terminer pour jeudi
Démonstration de cours en début de colle
Diagonalisabilité d’une matrice ou d’un endomorphisme avec un spectre maximal
Transposée d’une matrice diagonalisable
Critère de similitude pour des matrices diagonalisables
Condition nécessaire pour un extremum local
Nature du point critique pour une fonction quadratique non dégénérée
Coefficients d’une régression linéaire par la méthode des moindres carrés
Programme de colles
Exercices de diagonalisation de matrices ou d’endomorphismes en dimension finie
Exercices sur les fonctions de plusieurs variables : calcul de dérivées partielles, détermination de points critiques, nature du point critique lorsqu’elle peut être déterminée directement (l’usage de la fonction quadratique associée n’a pas pu être complètement travaillée)
Cours
Fonctions de plusieurs variables
Produit scalaire

Travail personnel
Démonstration de cours en début de colle
Variance de la loi uniforme
Variance de la loi exponentielle
Espérance de la loi normale centrée réduite
Diagonalisabilité d’une matrice ou d’un endomorphisme avec un spectre maximal
Transposée d’une matrice diagonalisable
Critère de similitude pour des matrices diagonalisables
Programme de colles
Exercices sur les variables aléatoires à densité
Exercices de diagonalisation de matrices ou d’endomorphismes en dimension finie
Cours
Fonctions de plusieurs variables

Travail personnel
Exercice 10 sur les variables aléatoires à densité pour lundi, exercice 9 pour mardi, exercice 11 pour jeudi
Démonstration de cours en début de colle
Indépendance linéaire d’une famille de vecteurs propres
Spectre et espaces propres de matrices semblables
Lien entre valeurs propres et polynôme annulateur
Variance de la loi uniforme
Variance de la loi exponentielle
Espérance de la loi normale centrée réduite
Programme de colles
Exercices d'analyse spectrale pour des matrices ou des endomorphismes en dimension finie, avec des valeurs propres réelles. La diagonalisation fera l’objet d’un autre chapitre.
Exercices sur les variables aléatoires à densité
Questions de cours supplémentaires
Loi normale, fonction de répartition, quantiles
Cours
Diagonalisation

Travail personnel
Problème 3 sur l’analyse spectrale pour lundi
Exercice 20 sur les variables aléatoires discrètes pour mardi
Exercice 7 sur les variables aléatoires à densité pour jeudi
Démonstration de cours en début de colle
Intégrale des exponentielles
Critère de Riemann
Convergence de l'intégrale de Gauss (la valeur doit être connue mais son calcul est hors programme)
Indépendance linéaire d’une famille de vecteurs propres
Spectre et espaces propres de matrices semblables
Lien entre valeurs propres et polynôme annulateur
Programme de colles
Exercices sur l'intégrale généralisée de fonctions positives (ou au moins de signe constant)
Exercices d'analyse spectrale pour des matrices ou des endomorphismes en dimension finie, avec des valeurs propres réelles. La diagonalisation fera l’objet d’un autre chapitre.
Questions de cours supplémentaires
Caractérisation des isomorphismes par le spectre, spectre de l’isomorphisme inverse
Cours
Variables aléatoires à densité

Démonstration de cours en début de colle
Sous-espaces associés à une projection
Expression d'un projecteur comme une projection
Sous-espaces associés à une symétrie
Intégrale des exponentielles
Critère de Riemann
Convergence de l'intégrale de Gauss (la valeur doit être connue mais son calcul est hors programme)
Programme de colles
Exercices sur la décomposition d'un espace vectoriel en somme de sous-espaces : privilégier la somme de deux sous-espaces, en déduire des bases adaptées au noyau et à l'image, en particulier pour des endomorphismes nilpotents, des projecteurs ou des symétries.
Exercices sur l'intégrale généralisée de fonctions positives (ou au moins de signe constant)
Questions de cours supplémentaires
Cours
Analyse spectrale : famille de vecteurs propres

Il n'y a pas de colle pendant les deux premières semaines de la rentrée pour cause de concours blanc, sauf pour les volontaires lundi 4 et vendredi 15. Ceux-ci peuvent m'envoyer un message pour préciser les chapitres sur lesquels ils préfèrent être interrogés (sinon, le programme de la colle facultative rassemble tous les chapitres vus jusqu'à aujourd'hui, y compris en HKBL).

Travail personnel
Exercices 4 et 6 sur l'intégrale généralisée pour lundi, exercices 9 et 10 pour mardi.
Cours
Analyse spectrale : valeur propre et vecteur propre pour une matrice ou un endomorphisme en dimension finie

Démonstration de cours en début de colle
Structure d'espace vectoriel sur la somme de deux sous-espaces
Caractérisation de la somme directe pour deux sous-espaces vectoriels
Caractérisation des sous-espaces vectoriels supplémentaires en dimension finie
Sous-espaces associés à une projection
Expression d'un projecteur comme une projection
Sous-espaces associés à une symétrie
Programme de colles
Exercices sur la décomposition d'un espace vectoriel en somme de sous-espaces : privilégier la somme de deux sous-espaces, en déduire des bases adaptées au noyau et à l'image, en particulier pour des endomorphismes nilpotents, des projecteurs ou des symétries.
Cours
Intégrale généralisée

Travail personnel
Exercices 4 et 5 sur la décomposition d'un espace vectoriel pour lundi, exercices 8 et 14 pour mardi, problème 1 pour jeudi.
Démonstration de cours en début de colle
Condition nécessaire et suffisante pour un DL à l'ordre 1
Développement limité de 1/(1 − x) en 0
Développement limité de l'exponentielle en 0
Structure d'espace vectoriel sur la somme de deux sous-espaces
Caractérisation de la somme directe pour deux sous-espaces vectoriels
Caractérisation des sous-espaces vectoriels supplémentaires en dimension finie
Programme de colles
Exercices de développement limité à partir des quatre formules au programme (inverse, exponentielle, logarithme, puissance), de la formule de Taylor-Young et de l'intégration ; la notion d'équivalent est hors programme, et les DL des fonctions trigonométriques doivent être redémontrées
Exercices sur la décomposition d'un espace vectoriel en somme de sous-espaces : privilégier la somme de deux sous-espaces, en déduire des bases adaptées au noyau et à l'image pour des endomorphismes nilpotents ou des projecteurs (même si la définition de ces derniers n'a pas encore été vue en classe).
Questions de cours supplémentaires
Espaces supplémentaires
Cours
Décomposition d'un espace vectoriel en somme de sous-espaces : projecteurs et symétries

Travail personnel
Exercice 5 sur le développement limité pour lundi, exercice 6 pour mardi et exercice 11 pour jeudi.
Démonstration de cours en début de colle
Matrice représentative d'un isomorphisme
Propriétés de la relation de similitude sur les matrices
Trace de matrices semblables
Condition nécessaire et suffisante pour un DL à l'ordre 1
Développement limité de 1/(1 − x) en 0
Développement limité de l'exponentielle en 0
Programme de colles
Représentation matricielle d'application linéaire, après étude éventuelle de la structure d'espace vectoriel (de dimension finie) et vérification de la linéarité de l'application, recherche de noyau et d'image directement ou à l'aide de la représentation.
Exercices de développement limité à partir des quatre formules au programme (inverse, exponentielle, logarithme, puissance), de la formule de Taylor-Young et de l'intégration ; la notion d'équivalent est hors programme, et les DL des fonctions trigonométriques doivent être redémontrées
Questions de cours supplémentaires
Formule de Taylor-Young, DL des fonctions puissances
Cours
Décomposition d'un espace vectoriel en somme de sous-espaces : somme et somme directe, sous-espaces supplémentaires

Travail personnel
Problème 5 sur les polynômes pour mardi.
Démonstration de cours en début de colle
Limites à l'infini des fonctions polynômes
Factorisation d'un polynôme à l'aide d'une liste de racines
Propagation d'une racine multiple au polynôme dérivé
Matrice représentative d'un isomorphisme
Propriétés de la relation de similitude sur les matrices
Trace de matrices semblables
Programme de colles
Étude de fonction avec détermination des asymptotes et branches paraboliques (la méthode de recherche a été vue en classe)
Étude de fonctions polynômes avec factorisation par obtention de racines réelles (pas de complexes normalement) et division euclidienne
Représentation matricielle d'application linéaire, après étude éventuelle de la structure d'espace vectoriel (de dimension finie) et vérification de la linéarité de l'application, recherche de noyau et d'image directement ou à l'aide de la représentation.
Cours
Développement limité

Travail personnel
Devoir non surveillé 2 pour le lundi 30 septembre
Démonstration de cours en début de colle
Limites à l'infini des fonctions polynômes
Factorisation d'un polynôme à l'aide d'une liste de racines
Propagation d'une racine multiple au polynôme dérivé
Programme de colles
Étude de fonction avec détermination des asymptotes et branches paraboliques (la méthode de recherche a été vue en classe)
Étude de fonctions polynômes avec factorisation par obtention de racines réelles (pas de complexes normalement) et division euclidienne
Cours
Représentation matricielle

Cours
Fonctions polynômes : factorisation à l'aide d'une liste de racines, nombre de racines et degré, étude locale
Asymptotes et branches paraboliques
Distribution de la fiche mémo sur l'étude locale
TD
Exercices sur les fonctions polynômes, asymptotes et branches paraboliques

Lundi, la journée est banalisée pour l'accueil des élèves.

Travail personnel
Exercice 7 ou problème 3 sur les fonctions polynômes pour jeudi.
Cours
Fonctions polynômes : vocabulaire, limites, caractérisation par les coefficients, famille échelonnée de polynômes, degré et opérations, racines multiples,
Distribution de la fiche d'exercices sur les fonctions polynômes.
TD
Exercices sur les fonctions polynômes

Avant la rentrée

Le devoir non surveillé de transition (DNS1) est à rendre pour .

Les élèves peuvent vérifier leurs connaissances à l’aide des fiches mémo.