Inégalité arithmético-géométrique
Soit u et v deux réels strictement positifs tels que u < v.
Montrer les inégalités u <
√uv < (u + v)/2 < v.
Étude de fonctions avec valeurs absolues
- Déterminer le signe des expressions 3x2 − x − 10 et x2 − 5x + 6 pour tout x ∈ R.
- En déduire l’expression de f(x)
= 2x2 + |x2 − 5x + 6|
− |3x2 − x − 10| sans valeur absolue selon l’intervalle auquel appartient x.
- Étudier les variations de f sur chacun de ces intervalles.
- La fonction f est-elle minorée ? majorée ? Admet-t-elle un maximum ou un minimum ?
- Résoudre l’équation f(x) = 0.
Système d’équations linéaires
- Représenter les droites d’équations respectives
x − 2y = 5
et 5x + 2y = 4 et déterminer les coordonnées du point d’intersection par la résolution d’un système.
- Résoudre le système suivant de paramètre t ∈ R
et d’inconnues réelles x et y :
{(t + 1)x − 2y = 5 + t ;5x + (2 − t)y = 4 + 3t.
Bataille
Deux joueurs mélangent chacun un paquet de 10 cartes numérotées de 1 à 10, et les posent en pile devant eux face cachée. Ils révèlent successivement et en même temps le numéro de leur première carte. Si les deux numéros sont différents, celui qui a tiré le plus grand gagne. Sinon, les joueurs gardent la carte suivante face cachée, et révèlent le numéro de la troisième, et ainsi de suite jusqu’à ce qu’il y ait un gagnant ou que les paquets soient épuisés.
- De combien de manières chaque paquet peut-il être mélangé avant tirage ?
- Dénombrer les tirages possibles au premier coup.
- Dénombrer les situations qui font qu’un joueur gagne au deuxième tirage.
- À quelle condition les joueurs finissent ex-aequo ? De combien de manières cela peut-il se produire ?