Concours blanc n^o 2

Flashes

1. Déterminer la nature de la série ∑_n=0^+∞ n/3ⁿ et préciser sa somme le cas échéant.
2. Montrer que pour tout x ∈ ]−1, 1[ on a 1 + x ≤ e^x ≤ 1/(1 − x).
3. Soit n ∈ N^∗ et X une variable uniforme sur ⟦1, n⟧. Calculer la probabilité que X soit paire.

Anniversaires

On considère une classe de 46 élèves tous nés une année non bissextile. On suppose que les 365 dates de l’année sont équiprobables pour la naissance, et que les dates sont indépendantes d’un élève à l’autre.

1. On choisit deux élèves de la classe. Quelle est la probabilité qu’ils soient nés le même jour ?
2. Aujourd’hui 27 avril, quelle est la probabilité qu’aucun élève de la classe n’ait son anniversaire ?
3. Quelle est la probabilité que tous les élèves soient nés à des dates différentes ?
4. On choisit successivement des élèves dans la classe jusqu’à en trouver un qui soit né le même jour qu’un autre élève déjà choisi. Pour tout k ∈ ⟦1, 46⟧, calculer la probabilité que les k premiers élèves sont nés à des dates différentes.
5. Pour tout k ∈ ⟦1, 45⟧, en déduire que la probabilité de l’évènement A_k : « les k premiers élèves sont nés à des dates différentes et le suivant est né le même jour que l’un des précédents » s’écrit :
   P(A_k) = 365! (k − 1)/((366 − k)! 365^k).

Produit avec la transposée

On pose M = [ [ 1 ; −1 ; 5] [ 2 ; −1 ; −4] [ 3 ; 1 ; 1] ] et on note u, v, w ses trois vecteurs colonnes dans R³.

1. La famille (u, v, w) est-elle libre ? génératrice de R³ ? Est-ce une base ?
2. Déterminer une décomposition du vecteur x = [ [ 1] [ 1] [ 1] ] sur cette famille.
3. Calculer Q = M^T × M, où M^T est la transposée de M.
4. Les matrices M et M^T commutent-elles ?
5. Déterminer une matrice D = [ [ a ; 0 ; 0] [ 0 ; b ; 0] [ 0 ; 0 ; c] ] telle que D² × Q soit la matrice indentité I₃.
6. Les matrices D et Q commutent-elles ?
7. Montrer que le produit MD est inversible et que son inverse est égale à sa transposée.
8. Résoudre l’équation MX = M^TX.

Décomposition en éléments simples

1. Soit a, b, c trois constantes réelles et x ∈ R ∖ {1 ; 3}. Réduire au même dénominateur l’expression ax + b/(x + 1)²) + c/x + 3).
2. En déduire les valeurs de a, b, c pour que 1/(x + 1)² (x + 3)) = ax + b/(x + 1)²) + c/x + 3).
3. En déduire la valeur de l’intégrale ∫₀² 1/(x + 1)² (x + 3)) dx.
   (On pourra utiliser notamment un changement de variable u =x + 1.)

Intégrales et sinus

On définit pour tout n ∈ N, w_n = ∫₀^π/2 (sin(x))ⁿ dx.

1. Calculer w₀ et w₁.
2. Montrer que la suite (w_n) est décroissante.
3. Montrer que pour tout entier n on a w_n > 0.
4. Montrer à l'aide d'une intégration par parties que pour tout entier n on a (n + 2) w_n+2 = (n + 1) w_n.
5. En déduire que pour tout entier n on a (n + 1)w_n+1 w_n = w₀ w₁.
6. Montrer que pour tout entier n on a 1 ≥ (w_n+1)/(w_n) ≥ (n + 1)/(n + 2).
7. En déduire que le quotient (w_n+1)/(w_n) converge lorsque n tend vers +∞.
8. En déduire que la suite (n w_n²) converge vers (π)/(2).
9. Montrer que pour tout entier n on a w_2n = ((2n)! π)/(2²ⁿ⁺¹(n!)²).

Entropie

On définit pour tout u ∈ R^+∗, h(u) = u ln(u) et pour tout u ∈ R⁻, h(u) = 0.

Étude de fonction

1. Montrer que la fonction h est continue sur R⁺.
2. Justifier que pour tout u > 0 on a h(u) ≥ u − 1 avec égalité si et seulement si u = 1.
3. Représenter la courbe de la fonction h ainsi que sa tangente au point d’abscisse 1.

Entropie d’une variable aléatoire à support fini

Si X est une variable aléatoire discrète à valeurs dans X(Ω) = {x₁, … , x_n} avec pour tout i ∈ ⟦1, n⟧, p_i = P(X = x_i), alors l’entropie de X est définie par H(X) = − ∑_i=1ⁿ h(p_i) = − ∑_i=1ⁿ p_i ln(p_i).

On remarquera que cette définition ne dépend que des probabilités et pas des valeurs de la variable aléatoire X.

On remarquera aussi que le mot « entropie » ne commence pas par la lettre « H », mais certains y voient la lettre grecque majuscule êta. Cela n’est pas tellement plus satisfaisant vu que le mot grec « Εντροπία » commence en fait par la lettre epsilon et non pas par êta.

1. Si X suit une loi de Bernoulli de paramètre p ∈ ]0 ; 1[, rappeler l’ensemble des valeurs X(Ω) et les probabilités associées puis calculer son entropie.
2. Justifier que la fonction φ : t ↦ −t ln(t) + (t − 1) (t + ln(1 − t)) est deux fois dérivable sur ]0 ; 1[ et calculer sa dérivée et sa dérivée seconde. Préciser aussi φ′(1/2) et en déduire le tableau de variations de φ avec ses limites.
3. En déduire que l’entropie d’une variable de Bernoulli est supérieure à sa variance.
4. Si X suit la loi uniforme sur ⟦1, n⟧, calculer son entropie et comparer sa valeur avec celle de sa variance.
5. Montrer, en utilisant l’inégalité obtenue dans la première partie, que pour toute variable aléatoire discrète avec n valeurs, on trouve H(X) ≤ ln(n) avec une inégalité stricte si X n’est pas uniforme.